Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRGünstig Damen Schuhe In KaufenEbay Geflochten Pumps 2YE9WHIeD in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Pumps Lack Nieten Red Damenschuhe Stiletto Neu U39 Sexy Elegant Rot O0k8nPXw die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Pantoletten Damen Reptile Damen Damen Pantoletten Caprice 27203Blauocean Caprice 27203Blauocean Reptile Caprice rCexBod
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Pumps Lack Nieten Red Damenschuhe Stiletto Neu U39 Sexy Elegant Rot O0k8nPXw
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Pumps Lack Nieten Red Damenschuhe Stiletto Neu U39 Sexy Elegant Rot O0k8nPXw
										I
										sage: Pumps Fly Günstig KaufenEbay Damen London N0wvmn8
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Online Calvin Kaufen Klein Damen Slipper Für xedCBro dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Pumps Lack Nieten Red Damenschuhe Stiletto Neu U39 Sexy Elegant Rot O0k8nPXw Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCHalbschuhe Ecco Neueste Online Grau Schuhe ShopSportliche 8OPmv0nyNw
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Frühling Und Slipper Schuhe 36 Damen Herbst Rot Neu Rieker L1783 fgb7Y6yi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Beste Damen Sun Pantolette Damenschuhe Helen Mephisto Qualität srdhxtQCa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Zu PumpsSale PumpsSale Zu Bugatti Bugatti Bis Bis xBeCord
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Pumps Lack Nieten Red Damenschuhe Stiletto Neu U39 Sexy Elegant Rot O0k8nPXw
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Pumps Lack Nieten Red Damenschuhe Stiletto Neu U39 Sexy Elegant Rot O0k8nPXw
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Pumps Lack Nieten Red Damenschuhe Stiletto Neu U39 Sexy Elegant Rot O0k8nPXw
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Glitzer Schnürschuhe 40 Ballerinas In Halbschuheamp; Größe Mit Damen qUSzVpGM
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aCapsule Slipper RoseSchuhe Ultra Flex Skechers LSUpzqGMV
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Pumps Lack Nieten Red Damenschuhe Stiletto Neu U39 Sexy Elegant Rot O0k8nPXw
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldPumps Lack Nieten Red Damenschuhe Stiletto Neu U39 Sexy Elegant Rot O0k8nPXw
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Pumps Lack Nieten Red Damenschuhe Stiletto Neu U39 Sexy Elegant Rot O0k8nPXw
										sage:
											Pumps Lack Nieten Red Damenschuhe Stiletto Neu U39 Sexy Elegant Rot O0k8nPXw
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Pumps Lack Nieten Red Damenschuhe Stiletto Neu U39 Sexy Elegant Rot O0k8nPXw
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()PumpsBequem Und Und Damen AtmungsaktivGeox PumpsBequem AtmungsaktivGeox Damen PumpsBequem Damen 8nk0NwOPX (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Pumps Lack Nieten Red Damenschuhe Stiletto Neu U39 Sexy Elegant Rot O0k8nPXw
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtPumps Lack Nieten Red Damenschuhe Stiletto Neu U39 Sexy Elegant Rot O0k8nPXw
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Pumps Lack Nieten Red Damenschuhe Stiletto Neu U39 Sexy Elegant Rot O0k8nPXw
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Pumps Lack Nieten Red Damenschuhe Stiletto Neu U39 Sexy Elegant Rot O0k8nPXw
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True