Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRIn Schwarz Damen Online Shop Slipper Everybody KaufenZumnorde LqRc543Aj in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Pumps Lack Nieten Red Damenschuhe Stiletto Neu U39 Sexy Elegant Rot O0k8nPXw die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Damen Sohle Trend Dicke Erhöht Feder Schuhe Retro Grüne Onwk0P
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
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> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Leder Mokassin Creme Damen Ara Slipper Atlanta Shop Jenny Partner D2EIH9
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Pumps Lack Nieten Red Damenschuhe Stiletto Neu U39 Sexy Elegant Rot O0k8nPXw
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Pumps Lack Nieten Red Damenschuhe Stiletto Neu U39 Sexy Elegant Rot O0k8nPXw
										I
										sage: Ecco Bequeme 7 Beige Ladies Schuhe Slipper Damenschuhe Soft WE92HYDI
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Damen KaufenEbay In 39 Fitnessamp; Günstig Laufschuhe Sportschuhe 4ARjq53L dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Pumps Lack Nieten Red Damenschuhe Stiletto Neu U39 Sexy Elegant Rot O0k8nPXw Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCComfort Ramsau Hausschuhe 53321900010 Finn 06561 41616 Nn0v8mwO
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Ballerina RotDamen Anthrazit Schnürer Gabor Schnürschuhe 53ARjLq4i
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Weeger Damen PantolettenSchuheamp; 14330 PantolettenSchuheamp; 14330 Damen Weeger Handtaschen ulFJT3Kc51a
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Aubyn Verkauf Frot Perry Weiß Leinenslipper Damen Weiße 5Aj34LR
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Pumps Lack Nieten Red Damenschuhe Stiletto Neu U39 Sexy Elegant Rot O0k8nPXw
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Pumps Lack Nieten Red Damenschuhe Stiletto Neu U39 Sexy Elegant Rot O0k8nPXw
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Pumps Lack Nieten Red Damenschuhe Stiletto Neu U39 Sexy Elegant Rot O0k8nPXw
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Pantoletten Shoes Schwarz39 03 Gabor Damen schwarz87 702 Eu Ygf6b7yv
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aVans Damen Schuhe KaufenPatchwork Vans Schuhe Blauschwarz Blauschwarz Vans Damen KaufenPatchwork Damen lFJTK1c3u5
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Pumps Lack Nieten Red Damenschuhe Stiletto Neu U39 Sexy Elegant Rot O0k8nPXw
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldPumps Lack Nieten Red Damenschuhe Stiletto Neu U39 Sexy Elegant Rot O0k8nPXw
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Pumps Lack Nieten Red Damenschuhe Stiletto Neu U39 Sexy Elegant Rot O0k8nPXw
										sage:
											Pumps Lack Nieten Red Damenschuhe Stiletto Neu U39 Sexy Elegant Rot O0k8nPXw
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Pumps Lack Nieten Red Damenschuhe Stiletto Neu U39 Sexy Elegant Rot O0k8nPXw
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Leder Halbschuhe Und Damen Sneaker Nieten Schnallen Mit Schwarz IH2DE9 (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Pumps Lack Nieten Red Damenschuhe Stiletto Neu U39 Sexy Elegant Rot O0k8nPXw
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtPumps Lack Nieten Red Damenschuhe Stiletto Neu U39 Sexy Elegant Rot O0k8nPXw
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Pumps Lack Nieten Red Damenschuhe Stiletto Neu U39 Sexy Elegant Rot O0k8nPXw
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Pumps Lack Nieten Red Damenschuhe Stiletto Neu U39 Sexy Elegant Rot O0k8nPXw
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True