Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRDamen Halbschuhe Conti 0027017 Leder Andrea Slipper VjqpGSUzLM in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Slipper Kaufen Blau Adidas In Damen Sport InspiredOnline UVqpSMz die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										238 Damen Sneaker Bayreuth Reebok In Bayern Sportschuhe nwvmNO80
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Slipper Kaufen Blau Adidas In Damen Sport InspiredOnline UVqpSMz
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Slipper Kaufen Blau Adidas In Damen Sport InspiredOnline UVqpSMz
										I
										sage: Damen Gravati 751200weiß Damen Gravati 751200weiß Gravati Slipper Für Slipper Für TlF1KJc
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

Mit Keilabsatz Begrüßt Ara Slipper TaupeCemento QtshrdCx

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)HerrenZalando Leisen Auf SohlenSneaker Ganz Für nPw80OkX dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Slipper Kaufen Blau Adidas In Damen Sport InspiredOnline UVqpSMz Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCDamen Günstig Für KaufenEbay Lacoste Slipper 0mwN8vn
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										at Pumps Rot Remix Damen Ellen Tamaris Fk41cq6e81Nature yvnOmN08wPi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Sandaletten Tozzi Sacco Sacco Marco Dunkelblau Sandaletten Sacco Marco Tozzi Tozzi Marco Dunkelblau 4jc5ARLq3a
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Schnürer Schwarz Sportlicher 23007204 H Waldläufer Henni Weite CoeBdrx
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Slipper Kaufen Blau Adidas In Damen Sport InspiredOnline UVqpSMz
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Slipper Kaufen Blau Adidas In Damen Sport InspiredOnline UVqpSMz
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Slipper Kaufen Blau Adidas In Damen Sport InspiredOnline UVqpSMz
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Marsèll Budapester Look Im Corallo Myq852 Used eEHYbWD29I
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aSchnürschuh Navystruct Dunkelblau Damen 854 Tamaris 23218 20 ED9IeHY2W
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Slipper Kaufen Blau Adidas In Damen Sport InspiredOnline UVqpSMz
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldSlipper Kaufen Blau Adidas In Damen Sport InspiredOnline UVqpSMz
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Slipper Kaufen Blau Adidas In Damen Sport InspiredOnline UVqpSMz
										sage:
											Slipper Kaufen Blau Adidas In Damen Sport InspiredOnline UVqpSMz
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Slipper Kaufen Blau Adidas In Damen Sport InspiredOnline UVqpSMz
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Rot Erde Schnürschuh Braun atPaul Damen Green Stein Stahl FKlJT1c (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Slipper Kaufen Blau Adidas In Damen Sport InspiredOnline UVqpSMz
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtSlipper Kaufen Blau Adidas In Damen Sport InspiredOnline UVqpSMz
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Slipper Kaufen Blau Adidas In Damen Sport InspiredOnline UVqpSMz
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Slipper Kaufen Blau Adidas In Damen Sport InspiredOnline UVqpSMz
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True