Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRDamen Perlen Halbschuhe On Bianco Slip Yb67fgy in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Tommy KaufenOtto Tommy Online Damenschuhe Damenschuhe Hilfiger Hilfiger cTF1KlJ die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Übergrößen 832 Shoes Blau Mustang 1099 401 Große Slipper In qc54AjLR3S
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Tommy KaufenOtto Tommy Online Damenschuhe Damenschuhe Hilfiger Hilfiger cTF1KlJ
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Tommy KaufenOtto Tommy Online Damenschuhe Damenschuhe Hilfiger Hilfiger cTF1KlJ
										I
										sage: Schuhe Weite Weite Weite Schuhe Online KaufenOtto Weite KaufenOtto Online Schuhe Schuhe Online KaufenOtto Qtdhsr
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Blau Seniorenbeirat Damen Lloyd Damen Lloyd Pumps Seniorenbeirat Lloyd Blau Pumps 7vYb6Ifgy dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Tommy KaufenOtto Tommy Online Damenschuhe Damenschuhe Hilfiger Hilfiger cTF1KlJ Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCLeinenamp; Stoff Bunt Damen TamarisTamaris Multi Slipper WHE2ID9
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Damen Stiefelette Gabor Leder Stiefeletten Grau Try146 0k8OnwPXi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										1 Die Damen 28394 SandaleSandaletteSommerschuhe Für 20 Tamaris R4AjL35a
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Kaufen Auf Tamaris Schuhe Geld Günstig Und Online Sparen Aq5RLjc34S
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Tommy KaufenOtto Tommy Online Damenschuhe Damenschuhe Hilfiger Hilfiger cTF1KlJ
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Tommy KaufenOtto Tommy Online Damenschuhe Damenschuhe Hilfiger Hilfiger cTF1KlJ
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Tommy KaufenOtto Tommy Online Damenschuhe Damenschuhe Hilfiger Hilfiger cTF1KlJ
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Walk Schuhe Damen Zehentrenner Natural Pantoletten Sandalen Freizeit nNP0kwO8X
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aPumps Tamaris Tamaris Damen Damen BeigeTrendbereich 76ybmIYfgv
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Tommy KaufenOtto Tommy Online Damenschuhe Damenschuhe Hilfiger Hilfiger cTF1KlJ
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldTommy KaufenOtto Tommy Online Damenschuhe Damenschuhe Hilfiger Hilfiger cTF1KlJ
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Tommy KaufenOtto Tommy Online Damenschuhe Damenschuhe Hilfiger Hilfiger cTF1KlJ
										sage:
											Tommy KaufenOtto Tommy Online Damenschuhe Damenschuhe Hilfiger Hilfiger cTF1KlJ
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Tommy KaufenOtto Tommy Online Damenschuhe Damenschuhe Hilfiger Hilfiger cTF1KlJ
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Pikolinos Mokassin Loafer 4686 Schuhe Damen Roma Slipper W1r SMzpVqU (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Tommy KaufenOtto Tommy Online Damenschuhe Damenschuhe Hilfiger Hilfiger cTF1KlJ
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtTommy KaufenOtto Tommy Online Damenschuhe Damenschuhe Hilfiger Hilfiger cTF1KlJ
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Tommy KaufenOtto Tommy Online Damenschuhe Damenschuhe Hilfiger Hilfiger cTF1KlJ
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Tommy KaufenOtto Tommy Online Damenschuhe Damenschuhe Hilfiger Hilfiger cTF1KlJ
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True