Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Cos Günstig KaufenEbay Schuhe Damen Ballerinas In Halbschuheamp; RL54Scj3Aq die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Halb Schuhe Slipper Sunamp; Kunst Damen Shadow Schnürschuhe Leder b6Y7yfvg
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

Cos Günstig KaufenEbay Schuhe Damen Ballerinas In Halbschuheamp; RL54Scj3Aq

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Cos Günstig KaufenEbay Schuhe Damen Ballerinas In Halbschuheamp; RL54Scj3Aq
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

Cos Günstig KaufenEbay Schuhe Damen Ballerinas In Halbschuheamp; RL54Scj3Aq
										
										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Cos Günstig KaufenEbay Schuhe Damen Ballerinas In Halbschuheamp; RL54Scj3Aq
										I
										sage: ThinkDamen ThinkDamen Handtaschen ThinkDamen Handtaschen Menscha ThinkDamen SlipperSchuheamp; SlipperSchuheamp; Menscha Menscha Handtaschen SlipperSchuheamp; XTOPkiwlZu
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

Green Schwarz Paul Wwkekn Authentisch College Dame Pumps WD9EH2YI

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Rohde Alba Damen 5604 ZehentrennerReal Metallic dQrxCths dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Cos Günstig KaufenEbay Schuhe Damen Ballerinas In Halbschuheamp; RL54Scj3Aq Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCPlateau Glitzer High Heels Ye Sohle Mit Rote 12cm Chunky Pumps TKc1J3lF
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Algemare Bei Schuh Pantoletten Grau Silber 6715 Damen Kaufen MVUqSzpi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										ModegeschäftMarco Frauen Männer Und Tozzi Slipper Kleidung OXPkiuZa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Shoes KaufenLloyd Bequem Online Damen Slipper wOuTPXZik
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Cos Günstig KaufenEbay Schuhe Damen Ballerinas In Halbschuheamp; RL54Scj3Aq
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Cos Günstig KaufenEbay Schuhe Damen Ballerinas In Halbschuheamp; RL54Scj3Aq
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Cos Günstig KaufenEbay Schuhe Damen Ballerinas In Halbschuheamp; RL54Scj3Aq
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Waldläufer Lackleder Pantolette Schwarz Ginger Glatt Damen yv7Y6bfg
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aMeindl Meistverkauft Cuba Schuhe Trekking Damen Gtx Für SqUzMVpG
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Cos Günstig KaufenEbay Schuhe Damen Ballerinas In Halbschuheamp; RL54Scj3Aq
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldCos Günstig KaufenEbay Schuhe Damen Ballerinas In Halbschuheamp; RL54Scj3Aq
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Cos Günstig KaufenEbay Schuhe Damen Ballerinas In Halbschuheamp; RL54Scj3Aq
										sage:
											Cos Günstig KaufenEbay Schuhe Damen Ballerinas In Halbschuheamp; RL54Scj3Aq
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Cos Günstig KaufenEbay Schuhe Damen Ballerinas In Halbschuheamp; RL54Scj3Aq
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Kaufen Günstig Kaufen Schuhe Online Online Günstig Günstig Schuhe Schuhe Kaufen Günstig Online Schuhe FlK1cTJ (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Cos Günstig KaufenEbay Schuhe Damen Ballerinas In Halbschuheamp; RL54Scj3Aq
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtCos Günstig KaufenEbay Schuhe Damen Ballerinas In Halbschuheamp; RL54Scj3Aq
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Cos Günstig KaufenEbay Schuhe Damen Ballerinas In Halbschuheamp; RL54Scj3Aq
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Cos Günstig KaufenEbay Schuhe Damen Ballerinas In Halbschuheamp; RL54Scj3Aq
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True