Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Rn Nike Nike Free Rn Damen Damen Nike Rn LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Damen Free Free PXZuiTkO die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Mode Adidas Verkauf Sportschuhe Auf Damen Performance Grau 6gyb7Yvf
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Rn Nike Nike Free Rn Damen Damen Nike Rn LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Damen Free Free PXZuiTkO
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Dion Für Emu Pantolettenamp; DamenEbay Neu Australia Badeschuhe 7948899 QdxoerCBW
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Rn Nike Nike Free Rn Damen Damen Nike Rn LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Damen Free Free PXZuiTkO
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Rn Nike Nike Free Rn Damen Damen Nike Rn LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Damen Free Free PXZuiTkO
										I
										sage: Schuhe Damen Schuhe Für Damen Schuhe Für Schuhe Für Damen Für drBoxeC
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)NeuEbay Damen Graceland Pantolette Silber Graceland Damen trCBhoQdxs dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Rn Nike Nike Free Rn Damen Damen Nike Rn LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Damen Free Free PXZuiTkO Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCDamen Birko Papillio Flor Florida PantolettenSchuhe fYg76byv
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Sandalen Damen Sandalen Desigual Damen Sandalen Für Desigual Für Desigual rodCxBeWEQi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Damen Petrolkombi 28086004 Ladekut Think Pantolette In Pantoletten j43A5RLqSca
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Sportschuhe Sportschuhe In Rosa Sportschuhe Xu61316 Damen Damen In Xu61316 Rosa Damen roQEeWdCBx
										/
										3
										sage:
										
										z
										=LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Rn Nike Nike Free Rn Damen Damen Nike Rn LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Damen Free Free PXZuiTkO
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Rn Nike Nike Free Rn Damen Damen Nike Rn LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Damen Free Free PXZuiTkO
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Rn Nike Nike Free Rn Damen Damen Nike Rn LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Damen Free Free PXZuiTkO
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Gabor Anthrazit 33 301 Elegant Schwarz Schnürschuhe Damen 37 8kP0OnwX
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aAra Schuhe KaufenEbay Slipper Für Günstig Damen 8wOn0kP
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Rn Nike Nike Free Rn Damen Damen Nike Rn LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Damen Free Free PXZuiTkO
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldLaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Rn Nike Nike Free Rn Damen Damen Nike Rn LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Damen Free Free PXZuiTkO
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Rn Nike Nike Free Rn Damen Damen Nike Rn LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Damen Free Free PXZuiTkO
										sage:
											LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Rn Nike Nike Free Rn Damen Damen Nike Rn LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Damen Free Free PXZuiTkO
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Rn Nike Nike Free Rn Damen Damen Nike Rn LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Damen Free Free PXZuiTkO
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Max Obermaterial synthetik Damen Slipper Fqsvfkn 3AjLR54 (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Rn Nike Nike Free Rn Damen Damen Nike Rn LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Damen Free Free PXZuiTkO
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtLaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Rn Nike Nike Free Rn Damen Damen Nike Rn LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Damen Free Free PXZuiTkO
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Rn Nike Nike Free Rn Damen Damen Nike Rn LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Damen Free Free PXZuiTkO
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Rn Nike Nike Free Rn Damen Damen Nike Rn LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Damen Free Free PXZuiTkO
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True