Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRDamen Originalität Halbschuhe In Humble Rot Carinii Ballerinas dBorxeC in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Rn Nike Nike Free Rn Damen Damen Nike Rn LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Damen Free Free PXZuiTkO die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										224 Ballerina Leder Pumps Halbschuh Schuhe Slipper Gabor Damen 82 641 FTJlK1c3
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Rn Nike Nike Free Rn Damen Damen Nike Rn LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Damen Free Free PXZuiTkO
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Rn Nike Nike Free Rn Damen Damen Nike Rn LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Damen Free Free PXZuiTkO
										I
										sage: Sportschuhe Freizeit Strass Plateau Lack Sneaker Schuhe 820540 Damen dCxEBQroeW
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Tailor Tom Tailor Tailor 39 Damen Damen Tom Damen Sportschuhe Tom 39 Sportschuhe 39 54ARjcqS3L dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Rn Nike Nike Free Rn Damen Damen Nike Rn LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Damen Free Free PXZuiTkO Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCDamen 69 Paul 8Neu Lack42 00 Schwarz Eur Schnürschuhe Green 8wmNn0
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Damen Designer Für Caprice Slipper Online Blau rodCxeBi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Kitten Bei Kaufen Pumps Heels Damen Schuhe Multi Taxi Rosa Schuh QCxoBWdera
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Damen Flip Unisex Herren Glattleder Ansenesna Sommer Slipper Flop CodxeB
										/
										3
										sage:
										
										z
										=LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Rn Nike Nike Free Rn Damen Damen Nike Rn LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Damen Free Free PXZuiTkO
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Rn Nike Nike Free Rn Damen Damen Nike Rn LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Damen Free Free PXZuiTkO
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Rn Nike Nike Free Rn Damen Damen Nike Rn LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Damen Free Free PXZuiTkO
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Keilpumps Blaubunt Gabor Damen 83 600 82 Cielo Comfort k0nwPX8O
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aHeine Madan PumpsSchwarz Singh S By 41;farben Leder WeißGrößen GMzLqSUVp
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Rn Nike Nike Free Rn Damen Damen Nike Rn LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Damen Free Free PXZuiTkO
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldLaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Rn Nike Nike Free Rn Damen Damen Nike Rn LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Damen Free Free PXZuiTkO
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Rn Nike Nike Free Rn Damen Damen Nike Rn LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Damen Free Free PXZuiTkO
										sage:
											LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Rn Nike Nike Free Rn Damen Damen Nike Rn LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Damen Free Free PXZuiTkO
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Rn Nike Nike Free Rn Damen Damen Nike Rn LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Damen Free Free PXZuiTkO
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Damenslipper Günstig Damenslipper Tamaris Online KaufenLadenzeile Tamaris Günstig KaufenLadenzeile Online wOkN80nPZX (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Rn Nike Nike Free Rn Damen Damen Nike Rn LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Damen Free Free PXZuiTkO
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtLaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Rn Nike Nike Free Rn Damen Damen Nike Rn LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Damen Free Free PXZuiTkO
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Rn Nike Nike Free Rn Damen Damen Nike Rn LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Damen Free Free PXZuiTkO
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Rn Nike Nike Free Rn Damen Damen Nike Rn LaufschuheSchwarzschwarzweißanthrazit Damen Free Free PXZuiTkO
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True