Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Ventura 82568 Comfort Atoll S Blau Damen Finn 007414 Pantoletten vNm80nw die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Riemchen Mit Und Zierblüte Conti 0592580 Plateau Andrea Pumps TK1JFlc
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

Ventura 82568 Comfort Atoll S Blau Damen Finn 007414 Pantoletten vNm80nw

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Ventura 82568 Comfort Atoll S Blau Damen Finn 007414 Pantoletten vNm80nw
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Ventura 82568 Comfort Atoll S Blau Damen Finn 007414 Pantoletten vNm80nw
										I
										sage: ZugleichHögl Stilvollamp; Offizieller Online Bequem Pumps ZPNnkwOX80
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Fergey In BlauP Schnürschuh Shoes 20 Damen amp;p Seibel Für Josef rBeWxdoC dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Ventura 82568 Comfort Atoll S Blau Damen Finn 007414 Pantoletten vNm80nw Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCW66796v 2mp71imsw Damen Plateau Pumps Bugatti WorQEdxeCB
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										41 Luftpolster Damen Leder Von Halbschuhe Goldkrone Schwarz Gr8 jLAq4c35RSi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Damen 41 Shoes Schuhe Prada Leder GrD Slipper Beige Mokassins MVUpzSa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Tanz Mädchen Tanzschuhe Schuhe Damen Stain Uirend Latein Sport gvbf6yY7
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Ventura 82568 Comfort Atoll S Blau Damen Finn 007414 Pantoletten vNm80nw
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Ventura 82568 Comfort Atoll S Blau Damen Finn 007414 Pantoletten vNm80nw
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Ventura 82568 Comfort Atoll S Blau Damen Finn 007414 Pantoletten vNm80nw
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Dream Clarks Funny Nubuck Schuhe Blau DHI2E9
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aBlausilber Authentisch Pantolette Damen Pantoletten Billig Gabor 8wk0NOXnP
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Ventura 82568 Comfort Atoll S Blau Damen Finn 007414 Pantoletten vNm80nw
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldVentura 82568 Comfort Atoll S Blau Damen Finn 007414 Pantoletten vNm80nw
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Ventura 82568 Comfort Atoll S Blau Damen Finn 007414 Pantoletten vNm80nw
										sage:
											Ventura 82568 Comfort Atoll S Blau Damen Finn 007414 Pantoletten vNm80nw
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Ventura 82568 Comfort Atoll S Blau Damen Finn 007414 Pantoletten vNm80nw
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Era Strawberry Low White Vans Sneaker Comfycush Pinkzinniatrue FclK1uTJ3 (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Ventura 82568 Comfort Atoll S Blau Damen Finn 007414 Pantoletten vNm80nw
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtVentura 82568 Comfort Atoll S Blau Damen Finn 007414 Pantoletten vNm80nw
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Ventura 82568 Comfort Atoll S Blau Damen Finn 007414 Pantoletten vNm80nw
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Ventura 82568 Comfort Atoll S Blau Damen Finn 007414 Pantoletten vNm80nw
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True