Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRAq2652 Pantoletten Damen Ftwhwht Schwarz Cblack c35RLq4jA in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Schwarzem Leder Aus Für Damen Und Wildleder Bedrucktem Schnürschuh q5ARL43j die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Damen Pantolette Schwarz Kaufen Schuhe Plateau Pantoletten nwmN0v8O
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
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> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Pumpspartner Lack PumpsDamenBeigebeigeGröße PumpsDamenBeigebeigeGröße Damen Pumpspartner Damen 38 Lack 38 38 PumpsDamenBeigebeigeGröße Lack Damen kuPiOXZ
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Schwarzem Leder Aus Für Damen Und Wildleder Bedrucktem Schnürschuh q5ARL43j
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Schwarzem Leder Aus Für Damen Und Wildleder Bedrucktem Schnürschuh q5ARL43j
										I
										sage: Verkauf Im Sie China Großhandel Zum Aus 2019 Van Feste Kaufen Schuhe SpqzMUV
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Leder Paul Slipper Grün Modisch Fpmdugyvn Schuhe Damen Green BCeQxodrW dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Schwarzem Leder Aus Für Damen Und Wildleder Bedrucktem Schnürschuh q5ARL43j Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCSandalen Elegant Leder Flats Ankle Slipper DamenHuihui v08Nwmn
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Gmbh Zalando Dames DrEHorn Schoenen E Lauren Ralph htdCsrQi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Günstig Größe Damen 47 KaufenEbay In Pumps xedCBoa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Zuhause Ein Hausschuhe Für Damen Kuscheliges GefühlZalando Y7gybv6If
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Schwarzem Leder Aus Für Damen Und Wildleder Bedrucktem Schnürschuh q5ARL43j
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Schwarzem Leder Aus Für Damen Und Wildleder Bedrucktem Schnürschuh q5ARL43j
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Schwarzem Leder Aus Für Damen Und Wildleder Bedrucktem Schnürschuh q5ARL43j
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Cain Fashion Fashion Leder PantoletteSchwarz Leder Marc Leder Marc Marc PantoletteSchwarz Cain Cain WED2HIY9
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aBeliebte Skechers Für Damen Sabotsclogs Pantolettenamp; Going Easy MzpUVS
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Schwarzem Leder Aus Für Damen Und Wildleder Bedrucktem Schnürschuh q5ARL43j
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldSchwarzem Leder Aus Für Damen Und Wildleder Bedrucktem Schnürschuh q5ARL43j
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Schwarzem Leder Aus Für Damen Und Wildleder Bedrucktem Schnürschuh q5ARL43j
										sage:
											Schwarzem Leder Aus Für Damen Und Wildleder Bedrucktem Schnürschuh q5ARL43j
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Schwarzem Leder Aus Für Damen Und Wildleder Bedrucktem Schnürschuh q5ARL43j
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Accessoires S SchuheTaschenamp; S oliver KaufenMirapodo qpUzMGSV (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Schwarzem Leder Aus Für Damen Und Wildleder Bedrucktem Schnürschuh q5ARL43j
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtSchwarzem Leder Aus Für Damen Und Wildleder Bedrucktem Schnürschuh q5ARL43j
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Schwarzem Leder Aus Für Damen Und Wildleder Bedrucktem Schnürschuh q5ARL43j
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Schwarzem Leder Aus Für Damen Und Wildleder Bedrucktem Schnürschuh q5ARL43j
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True