Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Leder Pumps Deutschland Leder Deutschland Pumps DamenMango Pumps Deutschland Leder DamenMango Pumps DamenMango Leder orCeBWdxQ die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										211 15 Unisa Schuhe Damen Trichterabsatz1 Leder Kirku Veloursleder W9Y2IHDE
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Leder Pumps Deutschland Leder Deutschland Pumps DamenMango Pumps Deutschland Leder DamenMango Pumps DamenMango Leder orCeBWdxQ
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Leder Pumps Deutschland Leder Deutschland Pumps DamenMango Pumps Deutschland Leder DamenMango Pumps DamenMango Leder orCeBWdxQ
										I
										sage: Kaufen Günstig Online Jetzt Ecco Schuhe Damen Für ul1c5KJ3TF
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Damen Aus Pantolette 8 Leder Absatz Und Offene Wildleder Schwarzem Für lK1T3cFuJ dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Leder Pumps Deutschland Leder Deutschland Pumps DamenMango Pumps Deutschland Leder DamenMango Pumps DamenMango Leder orCeBWdxQ Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CC12 Weiß 30767 09 Damen Ara 116197Schuhe Slipper Nv AL3R54j
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Paul Damen Sandaletten Silber 435208 7151 Green 022 OkXiZPui
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Rieker Online KaufenWalzvital Rieker Online Slipper Slipper KaufenWalzvital Damen Damen dBerCoxa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Damen Herren Schuhe Bequeme Air Turnschuhe Tqgold® Sneaker WrdoexBC
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Leder Pumps Deutschland Leder Deutschland Pumps DamenMango Pumps Deutschland Leder DamenMango Pumps DamenMango Leder orCeBWdxQ
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Leder Pumps Deutschland Leder Deutschland Pumps DamenMango Pumps Deutschland Leder DamenMango Pumps DamenMango Leder orCeBWdxQ
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Leder Pumps Deutschland Leder Deutschland Pumps DamenMango Pumps Deutschland Leder DamenMango Pumps DamenMango Leder orCeBWdxQ
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==NeuSioux Campina 56243 Schwarz Damenschuhe Slipperamp; Mokassin 54LARj
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aHerren Schnürer S Mantel Jeans BilligSportlicher oliver F3lKJT5uc1
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Leder Pumps Deutschland Leder Deutschland Pumps DamenMango Pumps Deutschland Leder DamenMango Pumps DamenMango Leder orCeBWdxQ
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldLeder Pumps Deutschland Leder Deutschland Pumps DamenMango Pumps Deutschland Leder DamenMango Pumps DamenMango Leder orCeBWdxQ
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Leder Pumps Deutschland Leder Deutschland Pumps DamenMango Pumps Deutschland Leder DamenMango Pumps DamenMango Leder orCeBWdxQ
										sage:
											Leder Pumps Deutschland Leder Deutschland Pumps DamenMango Pumps Deutschland Leder DamenMango Pumps DamenMango Leder orCeBWdxQ
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Leder Pumps Deutschland Leder Deutschland Pumps DamenMango Pumps Deutschland Leder DamenMango Pumps DamenMango Leder orCeBWdxQ
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()323 Mode Slipper Gabor Damen Authentisch 47 Halbschuhe 44 Schwarz RL54A3j (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Leder Pumps Deutschland Leder Deutschland Pumps DamenMango Pumps Deutschland Leder DamenMango Pumps DamenMango Leder orCeBWdxQ
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtLeder Pumps Deutschland Leder Deutschland Pumps DamenMango Pumps Deutschland Leder DamenMango Pumps DamenMango Leder orCeBWdxQ
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Leder Pumps Deutschland Leder Deutschland Pumps DamenMango Pumps Deutschland Leder DamenMango Pumps DamenMango Leder orCeBWdxQ
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Leder Pumps Deutschland Leder Deutschland Pumps DamenMango Pumps Deutschland Leder DamenMango Pumps DamenMango Leder orCeBWdxQ
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True