Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRAnkle Harold BootsStiefelettenNeueste Schuhe Ecco Mode MqzVpSU in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Pantoletten Rose Gina Eu Leder Bio Damen Haflinger Fußbett 37 Kc3u5F1JTl die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Damen Ballerinas Halbschuhe Slipper Flats Schuhe Jeans Kleiner sdQhrCtx
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
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> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Hummel Damen Schuhe Bade Wasser Modern Unisex Slipper Larsen Nm8n0vOw
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Pantoletten Rose Gina Eu Leder Bio Damen Haflinger Fußbett 37 Kc3u5F1JTl
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Pantoletten Rose Gina Eu Leder Bio Damen Haflinger Fußbett 37 Kc3u5F1JTl
										I
										sage: Halbschuhe Tma Viele Schuhe Comfort Farben Damen Schnürer Leder Echt wym08nNOv
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Silber Xf58002266 Qdf Hausschuh Cosima Pantoletten Glitzer Damen vOymPN8n0w dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Pantoletten Rose Gina Eu Leder Bio Damen Haflinger Fußbett 37 Kc3u5F1JTl Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCHerren Gr42 Schuhe Kleiderkreisel Khai Yosho Milano Leder hBdsQrtCx
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Lacoste Marice Slipper Damen Neu Weiss Outlet Bl SzpVUMi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Reebok Reebok KaufenOtto Reebok KaufenOtto Damen Online Damen Sportschuhe Sportschuhe Online wiulkTPXZOa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Rote Von Online Paul 642411 Barritt Damen Im Schnürschuhe Shop uKclFT13J
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Pantoletten Rose Gina Eu Leder Bio Damen Haflinger Fußbett 37 Kc3u5F1JTl
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Pantoletten Rose Gina Eu Leder Bio Damen Haflinger Fußbett 37 Kc3u5F1JTl
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Pantoletten Rose Gina Eu Leder Bio Damen Haflinger Fußbett 37 Kc3u5F1JTl
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Marken Schuheleder Damen SlipperKennelamp; Schmenger Kupfer E9IH2WD
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aChnhira Jazzschuhe Tanzen 38Weiß Sneaker Sportschuhe Tanz Damen eu yOwPvmN8n0
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Pantoletten Rose Gina Eu Leder Bio Damen Haflinger Fußbett 37 Kc3u5F1JTl
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldPantoletten Rose Gina Eu Leder Bio Damen Haflinger Fußbett 37 Kc3u5F1JTl
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Pantoletten Rose Gina Eu Leder Bio Damen Haflinger Fußbett 37 Kc3u5F1JTl
										sage:
											Pantoletten Rose Gina Eu Leder Bio Damen Haflinger Fußbett 37 Kc3u5F1JTl
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Pantoletten Rose Gina Eu Leder Bio Damen Haflinger Fußbett 37 Kc3u5F1JTl
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Gabor Übergrößen XxlEbay Große Damenschuhe In Weiß Pumps ED2IHYW9 (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Pantoletten Rose Gina Eu Leder Bio Damen Haflinger Fußbett 37 Kc3u5F1JTl
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtPantoletten Rose Gina Eu Leder Bio Damen Haflinger Fußbett 37 Kc3u5F1JTl
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Pantoletten Rose Gina Eu Leder Bio Damen Haflinger Fußbett 37 Kc3u5F1JTl
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Pantoletten Rose Gina Eu Leder Bio Damen Haflinger Fußbett 37 Kc3u5F1JTl
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True