Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRSlipper 24161350006 Slippers Designer Schuhe Aimee Damen Ecco L4RAjc35q in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Schwarz Sandale Tommy Sandalette Fl Hilfiger flop Essential Black vn0mNw8O die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Oxford Schwarz Cox Schnürschuh Kaufen In 48346301Görtz N80nPXwOkZ
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Schwarz Sandale Tommy Sandalette Fl Hilfiger flop Essential Black vn0mNw8O
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Rieker Schwarz Sandalette Damen Luftpolster Mit n8wv0mN
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Schwarz Sandale Tommy Sandalette Fl Hilfiger flop Essential Black vn0mNw8O
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Schwarz Sandale Tommy Sandalette Fl Hilfiger flop Essential Black vn0mNw8O
										I
										sage: LackDamen Pumps Heel Högl Peeptoe Nude High W9IEH2D
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)S Ocean Ventura Finn Bequeme Damenpantolette Sale Comfort bf7yvY6g dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Schwarz Sandale Tommy Sandalette Fl Hilfiger flop Essential Black vn0mNw8O Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCAuf FürGabor Rosa Damen Schuhe Pumps Suchergebnis 45LqR3Aj
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Zehen Yjp PantolettenSchwarz Großhandel Damen Spitz Grün Rot UMSzpqVi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										In Sohle Zign Neu Schnürschuhe 2017 Halbschuhe Damen Schwarz Mit Plateau 5jLR34Aa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Schuhe Schuhe Kombinieren Braune Schuhe Schuhe Schuhe Braune Kombinieren Braune Kombinieren Braune Kombinieren Braune shdxrQtC
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Schwarz Sandale Tommy Sandalette Fl Hilfiger flop Essential Black vn0mNw8O
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Schwarz Sandale Tommy Sandalette Fl Hilfiger flop Essential Black vn0mNw8O
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Schwarz Sandale Tommy Sandalette Fl Hilfiger flop Essential Black vn0mNw8O
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==In Schwarz 46424302Görtz Cox Kaufen Pantolette odrBCxWe
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aDamen Grau T Chorus Pitch Pumps Clarks Artisan Schuhe StegEbay T1JcuFKl35
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Schwarz Sandale Tommy Sandalette Fl Hilfiger flop Essential Black vn0mNw8O
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldSchwarz Sandale Tommy Sandalette Fl Hilfiger flop Essential Black vn0mNw8O
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Schwarz Sandale Tommy Sandalette Fl Hilfiger flop Essential Black vn0mNw8O
										sage:
											Schwarz Sandale Tommy Sandalette Fl Hilfiger flop Essential Black vn0mNw8O
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Schwarz Sandale Tommy Sandalette Fl Hilfiger flop Essential Black vn0mNw8O
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Weinrot online Damen Pumps Tamaris Camerino Preis Einkaufen Bester bvfyIm76Yg (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Schwarz Sandale Tommy Sandalette Fl Hilfiger flop Essential Black vn0mNw8O
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtSchwarz Sandale Tommy Sandalette Fl Hilfiger flop Essential Black vn0mNw8O
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Schwarz Sandale Tommy Sandalette Fl Hilfiger flop Essential Black vn0mNw8O
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Schwarz Sandale Tommy Sandalette Fl Hilfiger flop Essential Black vn0mNw8O
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True