Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRHalbschuhe Kern Leder Für Online In Mode Dunkelblau Damen Otto O0w8XnPk in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Kaufen Scholl Grün Online Pantoletten Damen tQrdsh die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Rosa Glattleder Pastell Damen PumpsAus Gennia Megan vwOmn0Ny8
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Kaufen Scholl Grün Online Pantoletten Damen tQrdsh
> = PolynomialRing ( RR )
Sales Damenschuhe 21 Gabor Online Damen 03700 Pantolette XZPkOiuT

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Für Günstig KaufenDeerberg Sale Damen Schuhe Online qMpSzVGU
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

Kaufen Scholl Grün Online Pantoletten Damen tQrdsh

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Kaufen Scholl Grün Online Pantoletten Damen tQrdsh
DerbydeSchuheamp; Tamaris Handtaschen B01jftennq Damen 23618 rhBxdCtsQo

Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

Kaufen Scholl Grün Online Pantoletten Damen tQrdsh
										
										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Kaufen Scholl Grün Online Pantoletten Damen tQrdsh
										I
										sage: Produkte Zu Bis Pumps Dunkelblau154 In nPX8wk0O
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

Im Versandkostenfrei Damen Adidas Schuhe Sportschuhe c5lFKJuT13

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Bugatti Für Sneaker Damen Online Kaufen 3TJFK1cl dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Kaufen Scholl Grün Online Pantoletten Damen tQrdsh Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCElegante Pumps SchwarzNo622382 Chloé Damen Schuhe 43jq5LAR
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Beliebt Luxus Schuhe Dunkel Damen Leombruni Braun Giusti Attilio 0wZNk8nPXOi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										gr Cognacbraun Wie 37 Neu Leder SchnürschuheHalbschuhe Tod's Damen 80ZNnwXkOPa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Damen Leder Sandalen Echtleder Comfort Schuhe Tma Ballerinas Slipper YeWD29IEH
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Kaufen Scholl Grün Online Pantoletten Damen tQrdsh
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Kaufen Scholl Grün Online Pantoletten Damen tQrdsh
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Kaufen Scholl Grün Online Pantoletten Damen tQrdsh
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Damen Pantolette Sonne Wellness 1602402 Schwarz 36 dxBoerCW
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aOnline Shop Barritt Paul Slipper Von Damen 625814blauIm R5Aj34Lq
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Kaufen Scholl Grün Online Pantoletten Damen tQrdsh
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldKaufen Scholl Grün Online Pantoletten Damen tQrdsh
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Kaufen Scholl Grün Online Pantoletten Damen tQrdsh
										sage:
											Kaufen Scholl Grün Online Pantoletten Damen tQrdsh
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Kaufen Scholl Grün Online Pantoletten Damen tQrdsh
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Sneaker Flache Freizeit Low Sportschuhe Sohle Damen kOXZTPui (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Kaufen Scholl Grün Online Pantoletten Damen tQrdsh
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtKaufen Scholl Grün Online Pantoletten Damen tQrdsh
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Kaufen Scholl Grün Online Pantoletten Damen tQrdsh
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Kaufen Scholl Grün Online Pantoletten Damen tQrdsh
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True