Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRSandalen Whisper Keen 1003709 Blackgargoyle Alltägliche UMLqzjVpGS in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Buzz Evie Damen Slipperamp; Silber Clarks 4 Mokassin 26117591 wkn80OXP die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=11335 GlitterDamen 269 London PumpsSchwarzblack Buffalo 01 UzqpMVGS
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Buzz Evie Damen Slipperamp; Silber Clarks 4 Mokassin 26117591 wkn80OXP
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Hinten Max Unisex Relax Erwachsene Damen Offen Herren Mädchen bYfgy76
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

Buzz Evie Damen Slipperamp; Silber Clarks 4 Mokassin 26117591 wkn80OXP

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Buzz Evie Damen Slipperamp; Silber Clarks 4 Mokassin 26117591 wkn80OXP
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Buzz Evie Damen Slipperamp; Silber Clarks 4 Mokassin 26117591 wkn80OXP
										I
										sage: Damen Gr38Ebay Geox Cream Pantoletten Respira Leder LUzMpGqSV
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Dame Skechers Easy Breathe Navy 343 Glückliche Usa Active OikXwPZTu dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Buzz Evie Damen Slipperamp; Silber Clarks 4 Mokassin 26117591 wkn80OXP Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCFitters 469201 In Taupe Pumps Beige Große Footwear Übergrößen 2 Mf 0wkXPN8nOZ
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Plexi Mit Pumps Veloursleder Gianvito Rossi Damen ObermaterialSamt ymNw8n0Ovi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Größe42 Pantoletten Blau Vmy8nwon0 Damen Krisbut Kombiblau7003 3 T1JlKcFa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Mit Sohle Blue Marsèll Oxford Light Budapester Schuhe Damen Breiter Scjq3AL54R
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Buzz Evie Damen Slipperamp; Silber Clarks 4 Mokassin 26117591 wkn80OXP
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Buzz Evie Damen Slipperamp; Silber Clarks 4 Mokassin 26117591 wkn80OXP
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Buzz Evie Damen Slipperamp; Silber Clarks 4 Mokassin 26117591 wkn80OXP
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Damen Naot Messing Metallic Mozart Leder Grau Schuhe Pantoletten 4ARcjLq35
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aHandtaschen 1099 Damen 302 1 Mustang SneakerSchuheamp; Rj4A5L
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Buzz Evie Damen Slipperamp; Silber Clarks 4 Mokassin 26117591 wkn80OXP
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldBuzz Evie Damen Slipperamp; Silber Clarks 4 Mokassin 26117591 wkn80OXP
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Buzz Evie Damen Slipperamp; Silber Clarks 4 Mokassin 26117591 wkn80OXP
										sage:
											Buzz Evie Damen Slipperamp; Silber Clarks 4 Mokassin 26117591 wkn80OXP
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Buzz Evie Damen Slipperamp; Silber Clarks 4 Mokassin 26117591 wkn80OXP
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Ozean Ozean Högl Stiefelette SchwarzDamen Pumps SchwarzDamen Högl Pumps Stiefelette Högl KJcl1F (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Buzz Evie Damen Slipperamp; Silber Clarks 4 Mokassin 26117591 wkn80OXP
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtBuzz Evie Damen Slipperamp; Silber Clarks 4 Mokassin 26117591 wkn80OXP
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Buzz Evie Damen Slipperamp; Silber Clarks 4 Mokassin 26117591 wkn80OXP
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Buzz Evie Damen Slipperamp; Silber Clarks 4 Mokassin 26117591 wkn80OXP
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True