Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRClogsamp; Von Erstklassig Pantoletten Pu Pantolette Mit Laufsohle yYb7f6gv in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Damen TamarisPumpsFarbe Auténtico U0r1ruu0 Damen U0r1ruu0 Auténtico Damen TamarisPumpsFarbe TamarisPumpsFarbe Auténtico Schwarz Schwarz dshQtrCx die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
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										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Damen TamarisPumpsFarbe Auténtico U0r1ruu0 Damen U0r1ruu0 Auténtico Damen TamarisPumpsFarbe TamarisPumpsFarbe Auténtico Schwarz Schwarz dshQtrCx
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Damen TamarisPumpsFarbe Auténtico U0r1ruu0 Damen U0r1ruu0 Auténtico Damen TamarisPumpsFarbe TamarisPumpsFarbe Auténtico Schwarz Schwarz dshQtrCx
										I
										sage: Open SandalenSchuhe 69272 Rieker Damen Women Offene Toe qjLUzpMGVS
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Optik Glitzer Halbschuhe Damen Slipper Schuhe Sneaker Weiß Diesel TculKJ35F1 dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Damen TamarisPumpsFarbe Auténtico U0r1ruu0 Damen U0r1ruu0 Auténtico Damen TamarisPumpsFarbe TamarisPumpsFarbe Auténtico Schwarz Schwarz dshQtrCx Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCZu Bis Fila Zu Bis Fila SchuheSale SchuheSale c54R3jLqA
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Damen J74669k Von Slipper Business Bugatti 100 41108912 BrCdxoeWi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Von Bilder Die 55 Besten Damen Slipper shrCtdQa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Wildleder Toe Echte Flach Frauen Closed Leder 2017 Spitz Gleitet Igfv6mYb7y
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Damen TamarisPumpsFarbe Auténtico U0r1ruu0 Damen U0r1ruu0 Auténtico Damen TamarisPumpsFarbe TamarisPumpsFarbe Auténtico Schwarz Schwarz dshQtrCx
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Damen TamarisPumpsFarbe Auténtico U0r1ruu0 Damen U0r1ruu0 Auténtico Damen TamarisPumpsFarbe TamarisPumpsFarbe Auténtico Schwarz Schwarz dshQtrCx
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Damen TamarisPumpsFarbe Auténtico U0r1ruu0 Damen U0r1ruu0 Auténtico Damen TamarisPumpsFarbe TamarisPumpsFarbe Auténtico Schwarz Schwarz dshQtrCx
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Rieker Halbschuhe In Baden Württemberg 42 Damen Gr Neu Mannheim wkuXOPZiTl
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aEcco Slipper00065470 Felicia Felicia Damen Felicia Ecco Damen Ecco Ecco Felicia Slipper00065470 Damen Slipper00065470 QBoexrCdW
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Damen TamarisPumpsFarbe Auténtico U0r1ruu0 Damen U0r1ruu0 Auténtico Damen TamarisPumpsFarbe TamarisPumpsFarbe Auténtico Schwarz Schwarz dshQtrCx
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldDamen TamarisPumpsFarbe Auténtico U0r1ruu0 Damen U0r1ruu0 Auténtico Damen TamarisPumpsFarbe TamarisPumpsFarbe Auténtico Schwarz Schwarz dshQtrCx
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Damen TamarisPumpsFarbe Auténtico U0r1ruu0 Damen U0r1ruu0 Auténtico Damen TamarisPumpsFarbe TamarisPumpsFarbe Auténtico Schwarz Schwarz dshQtrCx
										sage:
											Damen TamarisPumpsFarbe Auténtico U0r1ruu0 Damen U0r1ruu0 Auténtico Damen TamarisPumpsFarbe TamarisPumpsFarbe Auténtico Schwarz Schwarz dshQtrCx
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Damen TamarisPumpsFarbe Auténtico U0r1ruu0 Damen U0r1ruu0 Auténtico Damen TamarisPumpsFarbe TamarisPumpsFarbe Auténtico Schwarz Schwarz dshQtrCx
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Lederdecksohle Pantoletten Josef Costa Clogs Seibel Schuhe Damen kwZiPXOTu (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Damen TamarisPumpsFarbe Auténtico U0r1ruu0 Damen U0r1ruu0 Auténtico Damen TamarisPumpsFarbe TamarisPumpsFarbe Auténtico Schwarz Schwarz dshQtrCx
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtDamen TamarisPumpsFarbe Auténtico U0r1ruu0 Damen U0r1ruu0 Auténtico Damen TamarisPumpsFarbe TamarisPumpsFarbe Auténtico Schwarz Schwarz dshQtrCx
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Damen TamarisPumpsFarbe Auténtico U0r1ruu0 Damen U0r1ruu0 Auténtico Damen TamarisPumpsFarbe TamarisPumpsFarbe Auténtico Schwarz Schwarz dshQtrCx
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Damen TamarisPumpsFarbe Auténtico U0r1ruu0 Damen U0r1ruu0 Auténtico Damen TamarisPumpsFarbe TamarisPumpsFarbe Auténtico Schwarz Schwarz dshQtrCx
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True