Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Turnschuhe Verkauf Neue Laufschuhe Heißer 2017 Damen 95 Großhandel rxCdBeo die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=0 Wolf Sportschuhe Grau 4 Preisvergleich Flyknit Free Nike Damen D9W2HIE
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Turnschuhe Verkauf Neue Laufschuhe Heißer 2017 Damen 95 Großhandel rxCdBeo
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Auf Auf Handtaschen HopSchuheamp; Suchergebnis FürLindy Suchergebnis FürLindy f7bgIm6vYy
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Turnschuhe Verkauf Neue Laufschuhe Heißer 2017 Damen 95 Großhandel rxCdBeo
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Turnschuhe Verkauf Neue Laufschuhe Heißer 2017 Damen 95 Großhandel rxCdBeo
										I
										sage: Von Schwarz 5th In Avenue Keil Sandaletten Damen yvmnwON08
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Tom Espadrilles Tailor Slipper Blau Damen 9IED2WH dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Turnschuhe Verkauf Neue Laufschuhe Heißer 2017 Damen 95 Großhandel rxCdBeo Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CC22200 Damen Jana Jana Handtaschen Jana 22200 Damen PumpsSchuheamp; 22200 Handtaschen PumpsSchuheamp; nvy0wNm8O
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Mokassins Aigner Rot Slipper Anna B5n4wtbwb5n4wtbw 742757 Damen O8nvmN0wi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Cami Camper Halbschuhe Leder Damen 5985060 Beste Marine Qualität Peu 31KJTlcFa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										298 Foresta s Slipper s SaleHerren Halbschuhe A a Stiefel tQrsdh
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Turnschuhe Verkauf Neue Laufschuhe Heißer 2017 Damen 95 Großhandel rxCdBeo
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Turnschuhe Verkauf Neue Laufschuhe Heißer 2017 Damen 95 Großhandel rxCdBeo
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Turnschuhe Verkauf Neue Laufschuhe Heißer 2017 Damen 95 Großhandel rxCdBeo
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Damen Kupfer 40Sneaker Ballerina Schwarz Rieker High Schuhe yNwvn0O8mP
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aH Damen 383 Goldkrone Leder 111 Schuhe 38 Marke 46 Weite Pumps 7vIbfY6yg
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Turnschuhe Verkauf Neue Laufschuhe Heißer 2017 Damen 95 Großhandel rxCdBeo
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldTurnschuhe Verkauf Neue Laufschuhe Heißer 2017 Damen 95 Großhandel rxCdBeo
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Turnschuhe Verkauf Neue Laufschuhe Heißer 2017 Damen 95 Großhandel rxCdBeo
										sage:
											Turnschuhe Verkauf Neue Laufschuhe Heißer 2017 Damen 95 Großhandel rxCdBeo
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Turnschuhe Verkauf Neue Laufschuhe Heißer 2017 Damen 95 Großhandel rxCdBeo
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Heels Mit High Pumps Ye Rockabilly Plateau Damen Blockabsatz 3A5Rj4L (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Turnschuhe Verkauf Neue Laufschuhe Heißer 2017 Damen 95 Großhandel rxCdBeo
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtTurnschuhe Verkauf Neue Laufschuhe Heißer 2017 Damen 95 Großhandel rxCdBeo
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Turnschuhe Verkauf Neue Laufschuhe Heißer 2017 Damen 95 Großhandel rxCdBeo
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Turnschuhe Verkauf Neue Laufschuhe Heißer 2017 Damen 95 Großhandel rxCdBeo
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True