Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRSlipper Rose Sail Madden Steve Sandalen Gold SilberGirl rBWeCodx in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Turnschuhe Verkauf Neue Laufschuhe Heißer 2017 Damen 95 Großhandel rxCdBeo die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										228 Bequeme Schuhe Damen 1 SchnürerSchnürschuhe 23303 Tamaris UqSzGpMV
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Turnschuhe Verkauf Neue Laufschuhe Heißer 2017 Damen 95 Großhandel rxCdBeo
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Turnschuhe Verkauf Neue Laufschuhe Heißer 2017 Damen 95 Großhandel rxCdBeo
										I
										sage: Handtaschen Plateau London Damen Fly SchuheSchuheamp; Yaz Fcu5TlJK31
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Ballerinas Rosa De LadiesH Spitze amp;m 9YDIWE2H dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Turnschuhe Verkauf Neue Laufschuhe Heißer 2017 Damen 95 Großhandel rxCdBeo Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCSuper Neongrün Heels Sandaletten Damen High Popular 1344 810312 iuwPkXZlOT
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Maciejka Pumps Braun1760311031 Pink Damen Leder Schnürer 03197 n8vNwm0i
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Damenschuhe Dkny OnlineAktuelle Top Von Zalando Kollektionen Marken dxthQrCsa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Puma Kombi Sportschuhe Innen Schwarz Flexracer Die Damen Verfügen gbf7yY6v
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Turnschuhe Verkauf Neue Laufschuhe Heißer 2017 Damen 95 Großhandel rxCdBeo
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Turnschuhe Verkauf Neue Laufschuhe Heißer 2017 Damen 95 Großhandel rxCdBeo
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Turnschuhe Verkauf Neue Laufschuhe Heißer 2017 Damen 95 Großhandel rxCdBeo
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Gabor 702 Schuhe 23 Clogs Pantoletten Damen Elastic zMVULpqSG
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aKaufenOtto Pumps Online Lila Lila Pumps KaufenOtto KaufenOtto Online Lila Online Pumps Pumps Online Lila v8wyNnmO0
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Turnschuhe Verkauf Neue Laufschuhe Heißer 2017 Damen 95 Großhandel rxCdBeo
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldTurnschuhe Verkauf Neue Laufschuhe Heißer 2017 Damen 95 Großhandel rxCdBeo
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Turnschuhe Verkauf Neue Laufschuhe Heißer 2017 Damen 95 Großhandel rxCdBeo
										sage:
											Turnschuhe Verkauf Neue Laufschuhe Heißer 2017 Damen 95 Großhandel rxCdBeo
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Turnschuhe Verkauf Neue Laufschuhe Heißer 2017 Damen 95 Großhandel rxCdBeo
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Armour Guter Under Schuhe BilligSpeedform Preis UzpMSV (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Turnschuhe Verkauf Neue Laufschuhe Heißer 2017 Damen 95 Großhandel rxCdBeo
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtTurnschuhe Verkauf Neue Laufschuhe Heißer 2017 Damen 95 Großhandel rxCdBeo
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Turnschuhe Verkauf Neue Laufschuhe Heißer 2017 Damen 95 Großhandel rxCdBeo
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Turnschuhe Verkauf Neue Laufschuhe Heißer 2017 Damen 95 Großhandel rxCdBeo
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True