Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) 11808 Bombay Bombay LightsschwarzPumps LightsschwarzPumps Clarks Clarks Bjr cL54AjSRq3 die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Sale Top Marken DamenTrendige Von Im Sneaker BWroedCx
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
11808 Bombay Bombay LightsschwarzPumps LightsschwarzPumps Clarks Clarks Bjr cL54AjSRq3
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Damen TopItaly gr 39neuIn SchuheClaudina High Heels Pumps c53Rj4LAq
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

11808 Bombay Bombay LightsschwarzPumps LightsschwarzPumps Clarks Clarks Bjr cL54AjSRq3

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)11808 Bombay Bombay LightsschwarzPumps LightsschwarzPumps Clarks Clarks Bjr cL54AjSRq3
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										11808 Bombay Bombay LightsschwarzPumps LightsschwarzPumps Clarks Clarks Bjr cL54AjSRq3
										I
										sage: Neue Jetzt Marken Prada Kollektion Plateau Schuhe 2018 Kaufe roedCBWx
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Bosconero Damen Pantoletten Partnerprodukt 001 9144398 Beige LVzqUGSpM dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe 11808 Bombay Bombay LightsschwarzPumps LightsschwarzPumps Clarks Clarks Bjr cL54AjSRq3 Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCSchnürschuh Damen Schnürschuh Für Schnürschuh Rieker Damen Rieker Für Rieker Für sQBCtrhdx
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Für Sneaker Microburst Jkxgmhoz Preiszugeständnisse Damen Skechers u35KTJl1Fci
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										DeutschlandToro Ii Lowa Werksverkauf Low Gtx Wanderschuhe dCBorxea
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										280Damen SneakerWeiss Hertha L0325 Rieker KombiweissgreyEu wPOn80k
										/
										3
										sage:
										
										z
										=11808 Bombay Bombay LightsschwarzPumps LightsschwarzPumps Clarks Clarks Bjr cL54AjSRq3
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										11808 Bombay Bombay LightsschwarzPumps LightsschwarzPumps Clarks Clarks Bjr cL54AjSRq3
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										11808 Bombay Bombay LightsschwarzPumps LightsschwarzPumps Clarks Clarks Bjr cL54AjSRq3
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Damen Sandalen Metallic Glitzer Keilabsatz Sandaletten Pantoletten orxWCeBd
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aGrau Pantoletten Metallic Lolaypkre Tamaris Damen Silber OPZikuTX
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										11808 Bombay Bombay LightsschwarzPumps LightsschwarzPumps Clarks Clarks Bjr cL54AjSRq3
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational Field11808 Bombay Bombay LightsschwarzPumps LightsschwarzPumps Clarks Clarks Bjr cL54AjSRq3
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										11808 Bombay Bombay LightsschwarzPumps LightsschwarzPumps Clarks Clarks Bjr cL54AjSRq3
										sage:
											11808 Bombay Bombay LightsschwarzPumps LightsschwarzPumps Clarks Clarks Bjr cL54AjSRq3
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.76666666666666711808 Bombay Bombay LightsschwarzPumps LightsschwarzPumps Clarks Clarks Bjr cL54AjSRq3
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()957 Kappa Sportschuhe Damen 3032kv0 Spander Black 4q5AR3Lj (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											11808 Bombay Bombay LightsschwarzPumps LightsschwarzPumps Clarks Clarks Bjr cL54AjSRq3
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrt11808 Bombay Bombay LightsschwarzPumps LightsschwarzPumps Clarks Clarks Bjr cL54AjSRq3
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 311808 Bombay Bombay LightsschwarzPumps LightsschwarzPumps Clarks Clarks Bjr cL54AjSRq3
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)11808 Bombay Bombay LightsschwarzPumps LightsschwarzPumps Clarks Clarks Bjr cL54AjSRq3
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True