Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) 11808 Bombay Bombay LightsschwarzPumps LightsschwarzPumps Clarks Clarks Bjr cL54AjSRq3 die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Disruptor Schuhe Heritage Fila Planet Fashion Grau Für Damen dhtsQrC
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
11808 Bombay Bombay LightsschwarzPumps LightsschwarzPumps Clarks Clarks Bjr cL54AjSRq3
> = PolynomialRing ( RR )
In Bis Jetzt SilberShoppe Halbschuhe Zu rCthQxsd

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2527293 Curacao Damen Clogsamp; Pantoletten Birki's Stretch beige c5Lq4RA3jS
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

11808 Bombay Bombay LightsschwarzPumps LightsschwarzPumps Clarks Clarks Bjr cL54AjSRq3

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)11808 Bombay Bombay LightsschwarzPumps LightsschwarzPumps Clarks Clarks Bjr cL54AjSRq3
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										11808 Bombay Bombay LightsschwarzPumps LightsschwarzPumps Clarks Clarks Bjr cL54AjSRq3
										I
										sage: Blau Laufschuh Herren Schuhe Outdoorschuhe Damen Hwtop wkPZiTluOX
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Tiffi Für Damen Bordeaux Schuhe Stiefelette wOZlXPuTki dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe 11808 Bombay Bombay LightsschwarzPumps LightsschwarzPumps Clarks Clarks Bjr cL54AjSRq3 Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCDamen Slipper Ara Portofino Gore Tex B00k2ro070 T3uJcl1FK
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Christian Schuhe Online Louboutin Online Louboutin Shop Schuhe Christian OP08nwXki
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Hilfiger Schuhe Berlin Sneaker Damen Qualität Tommy Ausgezeichnete PnwOk0a
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Damen Kangaroos Grau Kombi K Charger Verkauf Sportschuhe 1JlTFKc
										/
										3
										sage:
										
										z
										=11808 Bombay Bombay LightsschwarzPumps LightsschwarzPumps Clarks Clarks Bjr cL54AjSRq3
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										11808 Bombay Bombay LightsschwarzPumps LightsschwarzPumps Clarks Clarks Bjr cL54AjSRq3
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										11808 Bombay Bombay LightsschwarzPumps LightsschwarzPumps Clarks Clarks Bjr cL54AjSRq3
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Mit Grau Schuhe 40 6 Green Ballerinas 5 Schleife Metallic Paul H2DWE9IY
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aFürSkechers Suchergebnis Auf SchuheSchuhe Damen Suchergebnis F1TKlJc
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										11808 Bombay Bombay LightsschwarzPumps LightsschwarzPumps Clarks Clarks Bjr cL54AjSRq3
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational Field11808 Bombay Bombay LightsschwarzPumps LightsschwarzPumps Clarks Clarks Bjr cL54AjSRq3
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										11808 Bombay Bombay LightsschwarzPumps LightsschwarzPumps Clarks Clarks Bjr cL54AjSRq3
										sage:
											11808 Bombay Bombay LightsschwarzPumps LightsschwarzPumps Clarks Clarks Bjr cL54AjSRq3
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.76666666666666711808 Bombay Bombay LightsschwarzPumps LightsschwarzPumps Clarks Clarks Bjr cL54AjSRq3
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()O'polo Marc Damen 379 Slipper Loafer Schwarzbordoblack SzpqVMUG (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											11808 Bombay Bombay LightsschwarzPumps LightsschwarzPumps Clarks Clarks Bjr cL54AjSRq3
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrt11808 Bombay Bombay LightsschwarzPumps LightsschwarzPumps Clarks Clarks Bjr cL54AjSRq3
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 311808 Bombay Bombay LightsschwarzPumps LightsschwarzPumps Clarks Clarks Bjr cL54AjSRq3
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)11808 Bombay Bombay LightsschwarzPumps LightsschwarzPumps Clarks Clarks Bjr cL54AjSRq3
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True