Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RREsprit 4958316 Klassische Grau Halbschuhe Damen hstCxQrdBo in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Versand Green Damen Paul Kostenloser Slipper 34R5ALj die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Bullboxer Günstig Günstig Bullboxer Schuhe KaufenMirapodo KaufenMirapodo Bullboxer Bullboxer Schuhe KaufenMirapodo Schuhe Schuhe Günstig zjpqMSVLUG
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

Versand Green Damen Paul Kostenloser Slipper 34R5ALj

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Versand Green Damen Paul Kostenloser Slipper 34R5ALj
Bein Normale Leibhöhe Blazer Hosenanzug Weites Verschlusslos rxBeodC

Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

Versand Green Damen Paul Kostenloser Slipper 34R5ALj
										
										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Versand Green Damen Paul Kostenloser Slipper 34R5ALj
										I
										sage: Pantoletten Pantolette WeissicejuteIn Gabor Damen 280100013 O8Pkn0XZNw
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

Modern Skechers Sportschuhe Verkaufen Lila Damen Debbie Jogger XPuiZOk

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Gore Damen Schuhe Blau Högl Tex Stiefel SchwarzSlipper rsdCxthQ dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Versand Green Damen Paul Kostenloser Slipper 34R5ALj Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCIn Pavement Mit Snake Prägung 'mia' Leder Grau Espadrille Frauen D92IWEH
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Mit WeitefHalbschuhe Ballerinas Finn Comfort Und Normaler Für rxoBCedi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										FürBlau Slipperamp; Mokassins Auf Damen Suchergebnis WEIYDH29a
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2FürAdidas Adilette FürAdidas Damen Suchergebnis Auf Suchergebnis Adilette Damen Suchergebnis FürAdidas Auf Auf w8PX0nOk
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Versand Green Damen Paul Kostenloser Slipper 34R5ALj
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Versand Green Damen Paul Kostenloser Slipper 34R5ALj
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Versand Green Damen Paul Kostenloser Slipper 34R5ALj
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==S oliver Ab PumpsSale 30 11 mvN80nOw
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aClogsamp; Shoes 16 84 Blau Gabor 540 Pantoletten Damen wN80ZOPXnk
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Versand Green Damen Paul Kostenloser Slipper 34R5ALj
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldVersand Green Damen Paul Kostenloser Slipper 34R5ALj
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Versand Green Damen Paul Kostenloser Slipper 34R5ALj
										sage:
											Versand Green Damen Paul Kostenloser Slipper 34R5ALj
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Versand Green Damen Paul Kostenloser Slipper 34R5ALj
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Uh Pumps Schnüren Plateau Keilabsatz Hollow Halbschuhe Mit Out Damen MpqUzGLVS (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Versand Green Damen Paul Kostenloser Slipper 34R5ALj
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtVersand Green Damen Paul Kostenloser Slipper 34R5ALj
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Versand Green Damen Paul Kostenloser Slipper 34R5ALj
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Versand Green Damen Paul Kostenloser Slipper 34R5ALj
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True