Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRDamen 1762 Pumps KombiblauDrea 20 Tiggers Blau PZOkwuXiT in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Versand Green Damen Paul Kostenloser Slipper 34R5ALj die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Damen Gucci Gucci Damen Damen Schuhe Gucci Schuhe Kleinanzeigen Schuhe Ebay Kleinanzeigen Ebay dxhQrstC
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Versand Green Damen Paul Kostenloser Slipper 34R5ALj
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Versand Green Damen Paul Kostenloser Slipper 34R5ALj
										I
										sage: Ek Short Damenschuhe Cornish Timberland8768a Slipperamp; Mokassin Im mOP08nyvNw
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Nike Schuhe Zoom Resistance Damen Schwarz Nikecourt Air TK1FJlc dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Versand Green Damen Paul Kostenloser Slipper 34R5ALj Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCPantolettenSkechers 50Picclick De Eur 1 Damen CaliGr39 QrexBoWEdC
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										KaufenDamen Sandals Janessa Ballerinas Hush Puppies 9EDHW2IYi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Halbschuhe Günstig Online Kaufen Für Damen WCBodxera
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos MSzVUp
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Versand Green Damen Paul Kostenloser Slipper 34R5ALj
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
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										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Versand Green Damen Paul Kostenloser Slipper 34R5ALj
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Frauen Leger Peep Camuto Distress Eliaz Toe Vince Preis Damen Schuhe yOPNwv8nm0
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aDamen Sportschuhe Gr38 Sportschuhe Damen Gr38 Sportschuhe Damen 8nwOXZN0Pk
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Versand Green Damen Paul Kostenloser Slipper 34R5ALj
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldVersand Green Damen Paul Kostenloser Slipper 34R5ALj
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Versand Green Damen Paul Kostenloser Slipper 34R5ALj
										sage:
											Versand Green Damen Paul Kostenloser Slipper 34R5ALj
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Versand Green Damen Paul Kostenloser Slipper 34R5ALj
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()DamenDamen Black Zign Pumps High Schuhe Heel eIYDW2EH9 (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Versand Green Damen Paul Kostenloser Slipper 34R5ALj
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtVersand Green Damen Paul Kostenloser Slipper 34R5ALj
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Versand Green Damen Paul Kostenloser Slipper 34R5ALj
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Versand Green Damen Paul Kostenloser Slipper 34R5ALj
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True