Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRAb Leather 23 99 Women Classic Reebok I9W2EDH in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Canvas Espadrilles Riemchen Damen Glitzer Slipper Offen Sandalen IWE2D9HY die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Halbschuhe Damen Casual Schuhe Schnürschuhe Fransen QshdCtr
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Canvas Espadrilles Riemchen Damen Glitzer Slipper Offen Sandalen IWE2D9HY
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Damen CambioPantoletten ThinkStore Think Damen Pantolette Pantolette Think ThinkStore CambioPantoletten PikuTOZX
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

Canvas Espadrilles Riemchen Damen Glitzer Slipper Offen Sandalen IWE2D9HY

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Canvas Espadrilles Riemchen Damen Glitzer Slipper Offen Sandalen IWE2D9HY
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Canvas Espadrilles Riemchen Damen Glitzer Slipper Offen Sandalen IWE2D9HY
										I
										sage: Metallic Hilfiger Slipper Gr41 Neu Sneaker Tommy Light In Damen N8mwvn0
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Moda Online Vero Madeline Pump Heels Shop Zalora Philippines On nwmv8yON0 dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Canvas Espadrilles Riemchen Damen Glitzer Slipper Offen Sandalen IWE2D9HY Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCHummel Damen Schuhe Bade Wasser Modern Unisex Slipper Larsen Nm8n0vOw
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Konstantin Schnürschuh Cognac Damen Starke Wzpnlys PZTOkXuii
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Komfort Slipper Uns Wie L0367 BlaukombiAuthentische 14 Frauen UzpSMVa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Halbschuhe Damen B3392pb Online Clarks Billig Gelb c1FJlKT3
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Canvas Espadrilles Riemchen Damen Glitzer Slipper Offen Sandalen IWE2D9HY
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Canvas Espadrilles Riemchen Damen Glitzer Slipper Offen Sandalen IWE2D9HY
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Canvas Espadrilles Riemchen Damen Glitzer Slipper Offen Sandalen IWE2D9HY
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Rieker Rot Damen 33 Pantolette L0396 ukiTwPZOX
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aTamaris Gr41 Gr41 Tamaris PumpsTaupe PumpsTaupe HighheelDamenschuhe HighheelDamenschuhe HighheelDamenschuhe Tamaris HD9EIW2
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Canvas Espadrilles Riemchen Damen Glitzer Slipper Offen Sandalen IWE2D9HY
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldCanvas Espadrilles Riemchen Damen Glitzer Slipper Offen Sandalen IWE2D9HY
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Canvas Espadrilles Riemchen Damen Glitzer Slipper Offen Sandalen IWE2D9HY
										sage:
											Canvas Espadrilles Riemchen Damen Glitzer Slipper Offen Sandalen IWE2D9HY
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Canvas Espadrilles Riemchen Damen Glitzer Slipper Offen Sandalen IWE2D9HY
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Sportschuhe Online Für Damen Braune Kaufen H29WEID (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Canvas Espadrilles Riemchen Damen Glitzer Slipper Offen Sandalen IWE2D9HY
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtCanvas Espadrilles Riemchen Damen Glitzer Slipper Offen Sandalen IWE2D9HY
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Canvas Espadrilles Riemchen Damen Glitzer Slipper Offen Sandalen IWE2D9HY
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Canvas Espadrilles Riemchen Damen Glitzer Slipper Offen Sandalen IWE2D9HY
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True