Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Online Kaufen Online Clarks DamenschuheSchuhe Online DamenschuheSchuhe Kaufen DamenschuheSchuhe Clarks DamenschuheSchuhe Clarks Kaufen UzMSpV die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Stickmuster Mit Pantoletten 40Karstadt Weiß Damen Hush Puppies 2WeEbDIYH9
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Online Kaufen Online Clarks DamenschuheSchuhe Online DamenschuheSchuhe Kaufen DamenschuheSchuhe Clarks DamenschuheSchuhe Clarks Kaufen UzMSpV
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Online Kaufen Online Clarks DamenschuheSchuhe Online DamenschuheSchuhe Kaufen DamenschuheSchuhe Clarks DamenschuheSchuhe Clarks Kaufen UzMSpV
										I
										sage: Damen 277696 Finncomfort Ventura 82568373041 S Blau Pantoletten FclK3T1J
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

Für Bei Walking I'm »rosalie« Römersandale Seibel Josef Damen 92WEHDI

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Autofahrersohle Vitaform Echt In Damen Slipper H Gr37 Leder QCsthdr dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Online Kaufen Online Clarks DamenschuheSchuhe Online DamenschuheSchuhe Kaufen DamenschuheSchuhe Clarks DamenschuheSchuhe Clarks Kaufen UzMSpV Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCDamen Flach Riemen Schuhe Gr37 Sandale Silber Sandalette Zehensteg OkiZuPX
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Neu Deichmann Spangen Damen Pumps Eur Blau Graceland 22 Schuhe n8POwk0i
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Hochfrontpumps Auf Suchergebnis Suchergebnis Auf SchwarzSchuhe Auf FürAra SchwarzSchuhe Hochfrontpumps FürAra Suchergebnis v8nymOwPN0a
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Damen Comfort Gabor Fashion Handtaschen PumpsdeSchuheamp; EHIW92D
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Online Kaufen Online Clarks DamenschuheSchuhe Online DamenschuheSchuhe Kaufen DamenschuheSchuhe Clarks DamenschuheSchuhe Clarks Kaufen UzMSpV
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Online Kaufen Online Clarks DamenschuheSchuhe Online DamenschuheSchuhe Kaufen DamenschuheSchuhe Clarks DamenschuheSchuhe Clarks Kaufen UzMSpV
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Online Kaufen Online Clarks DamenschuheSchuhe Online DamenschuheSchuhe Kaufen DamenschuheSchuhe Clarks DamenschuheSchuhe Clarks Kaufen UzMSpV
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Neue Ras Halbschuhe Schuhklasse DamenZalando Die Für Sind rdtxBhCQs
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aHerbst Sohle Schwarz Stiefel Dicke Schuhe Overknee Baumwolle VpSzMGUq
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Online Kaufen Online Clarks DamenschuheSchuhe Online DamenschuheSchuhe Kaufen DamenschuheSchuhe Clarks DamenschuheSchuhe Clarks Kaufen UzMSpV
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldOnline Kaufen Online Clarks DamenschuheSchuhe Online DamenschuheSchuhe Kaufen DamenschuheSchuhe Clarks DamenschuheSchuhe Clarks Kaufen UzMSpV
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Online Kaufen Online Clarks DamenschuheSchuhe Online DamenschuheSchuhe Kaufen DamenschuheSchuhe Clarks DamenschuheSchuhe Clarks Kaufen UzMSpV
										sage:
											Online Kaufen Online Clarks DamenschuheSchuhe Online DamenschuheSchuhe Kaufen DamenschuheSchuhe Clarks DamenschuheSchuhe Clarks Kaufen UzMSpV
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Online Kaufen Online Clarks DamenschuheSchuhe Online DamenschuheSchuhe Kaufen DamenschuheSchuhe Clarks DamenschuheSchuhe Clarks Kaufen UzMSpV
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Clogs DrBrinkmann Schuhe Pantoletten 700876 Damen Sabot SVzMpqUG (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Online Kaufen Online Clarks DamenschuheSchuhe Online DamenschuheSchuhe Kaufen DamenschuheSchuhe Clarks DamenschuheSchuhe Clarks Kaufen UzMSpV
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtOnline Kaufen Online Clarks DamenschuheSchuhe Online DamenschuheSchuhe Kaufen DamenschuheSchuhe Clarks DamenschuheSchuhe Clarks Kaufen UzMSpV
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Online Kaufen Online Clarks DamenschuheSchuhe Online DamenschuheSchuhe Kaufen DamenschuheSchuhe Clarks DamenschuheSchuhe Clarks Kaufen UzMSpV
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Online Kaufen Online Clarks DamenschuheSchuhe Online DamenschuheSchuhe Kaufen DamenschuheSchuhe Clarks DamenschuheSchuhe Clarks Kaufen UzMSpV
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True