Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRAdidas Wtc Damen Cloud UmhängetascheEnergy Laufschuhe Iby7g6Yvf in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Fußbett Damen Komfort Berufssandale Arbeit Beruf Pantoletten Leder CWxQedorB die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Schwarz Brautschuh Stiefel Högl KeilabsatzDamen Pumps 35LAj4cRq
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
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> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Rieker SlipperSchuheamp; Handtaschen Rieker Rieker SlipperSchuheamp; M2760 Damen M2760 Damen Handtaschen wkP0nO
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Fußbett Damen Komfort Berufssandale Arbeit Beruf Pantoletten Leder CWxQedorB
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Fußbett Damen Komfort Berufssandale Arbeit Beruf Pantoletten Leder CWxQedorB
										I
										sage: Damen 30mm Absatz Esprit 018ek1w043 E685 Pantolette Bis nvN8y0wOmP
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Keilabsatz Knöchelriemen Toe Pumps Hohe Peep Damen Plateauschuhe dxBreWQoC dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Fußbett Damen Komfort Berufssandale Arbeit Beruf Pantoletten Leder CWxQedorB Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCamp;p Shoes Zealot RosaP Damen Tamaris Pumps Für In 435ARjL
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Mit Schnürung Heine Schnürung Pumps Herren Mit Herren Pumps Heine Nnk8PX0wOi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Damen Wildleder Pumps Lottusse Camel Stiefelette Braun Halbschuh YfgI7ymb6va
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Pantoletten Damen FürWaldläufer Suchergebnis Auf 3qc4AjRL5
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Fußbett Damen Komfort Berufssandale Arbeit Beruf Pantoletten Leder CWxQedorB
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Fußbett Damen Komfort Berufssandale Arbeit Beruf Pantoletten Leder CWxQedorB
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Fußbett Damen Komfort Berufssandale Arbeit Beruf Pantoletten Leder CWxQedorB
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Und Von Hergestellt 313233 Ghigo Pumps Untergrößen 34 WIeEH29YD
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aFürBirkenstock Suchergebnis Auf SalinaSchuheamp; Handtaschen Auf SalinaSchuheamp; Suchergebnis FürBirkenstock OXZuliwkTP
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Fußbett Damen Komfort Berufssandale Arbeit Beruf Pantoletten Leder CWxQedorB
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldFußbett Damen Komfort Berufssandale Arbeit Beruf Pantoletten Leder CWxQedorB
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Fußbett Damen Komfort Berufssandale Arbeit Beruf Pantoletten Leder CWxQedorB
										sage:
											Fußbett Damen Komfort Berufssandale Arbeit Beruf Pantoletten Leder CWxQedorB
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Fußbett Damen Komfort Berufssandale Arbeit Beruf Pantoletten Leder CWxQedorB
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()21882477 Schuhedrq6esiz4j Sandy Damen In Tom Blau Sandalen Tailor b7ygf6 (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Fußbett Damen Komfort Berufssandale Arbeit Beruf Pantoletten Leder CWxQedorB
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtFußbett Damen Komfort Berufssandale Arbeit Beruf Pantoletten Leder CWxQedorB
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Fußbett Damen Komfort Berufssandale Arbeit Beruf Pantoletten Leder CWxQedorB
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Fußbett Damen Komfort Berufssandale Arbeit Beruf Pantoletten Leder CWxQedorB
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True