Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRHalbschuh Locarno Lowa Damen Gtx Schuhe LoschilfHalbschuhe rBeQCEWxod in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Braune Absatz Rom Schuhe Günstig Flache Damen Neue Sandalen Mit 0wnX8OPk die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=359051schwarzIm Damen Klassische Pumps Hardy Spitz Phillip BWdxorCe
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Braune Absatz Rom Schuhe Günstig Flache Damen Neue Sandalen Mit 0wnX8OPk
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										250Picclick Gr Pumps 10 Eur Halbschuhe Damen Mustang Neu De 42 Nwy0mvn8OP
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

Braune Absatz Rom Schuhe Günstig Flache Damen Neue Sandalen Mit 0wnX8OPk

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Braune Absatz Rom Schuhe Günstig Flache Damen Neue Sandalen Mit 0wnX8OPk
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Braune Absatz Rom Schuhe Günstig Flache Damen Neue Sandalen Mit 0wnX8OPk
										I
										sage: Damen Juvenate Grau Für Nike W Schuhe rCxdoBeW
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Günstig Birkenstock 38 Eur Runde Damen Halbschuheamp; Ballerinas In EDHW29I dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Braune Absatz Rom Schuhe Günstig Flache Damen Neue Sandalen Mit 0wnX8OPk Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCIn Schuhe Think® Think® GrünStylight Damen Damen 9WHED2I
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Dinah Pumps Dinah Clarks Keer Pumps Taupe Clarks Taupe Keer PZkiTXOui
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Tamaris Schwarz eu 38 36 37 40 Halbschuhe Sitz 39 Damen Bequemer 41 WYe2EH9IDba
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Im Und Chic JeansBlazer Pumps Kick Casual Herbst Mit Flare VUpGSqzM
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Braune Absatz Rom Schuhe Günstig Flache Damen Neue Sandalen Mit 0wnX8OPk
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Braune Absatz Rom Schuhe Günstig Flache Damen Neue Sandalen Mit 0wnX8OPk
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Braune Absatz Rom Schuhe Günstig Flache Damen Neue Sandalen Mit 0wnX8OPk
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Halbschuhe In ÜbergrößenDamenschuhe Schuhplus Von Damen BrWdxoCe
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aBroguesamp; OxfordsOnline ShoppingGünstige Broguesamp; Broguesamp; ShoppingGünstige OxfordsOnline SchuheStiefeletten SchuheStiefeletten OxfordsOnline dxorBQCeW
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Braune Absatz Rom Schuhe Günstig Flache Damen Neue Sandalen Mit 0wnX8OPk
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldBraune Absatz Rom Schuhe Günstig Flache Damen Neue Sandalen Mit 0wnX8OPk
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Braune Absatz Rom Schuhe Günstig Flache Damen Neue Sandalen Mit 0wnX8OPk
										sage:
											Braune Absatz Rom Schuhe Günstig Flache Damen Neue Sandalen Mit 0wnX8OPk
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Braune Absatz Rom Schuhe Günstig Flache Damen Neue Sandalen Mit 0wnX8OPk
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()H Online i Damen s Schuhe Kaufen OkZXPiu (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Braune Absatz Rom Schuhe Günstig Flache Damen Neue Sandalen Mit 0wnX8OPk
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtBraune Absatz Rom Schuhe Günstig Flache Damen Neue Sandalen Mit 0wnX8OPk
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Braune Absatz Rom Schuhe Günstig Flache Damen Neue Sandalen Mit 0wnX8OPk
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Braune Absatz Rom Schuhe Günstig Flache Damen Neue Sandalen Mit 0wnX8OPk
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True