Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRPatriziaKhaki Schuhe Evita Pumps Damen Hl39614 ShoesKlassische WID9H2EY in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Online Sale Reduziert Damen Kaufen Rieker Pantoletten cF1KlJ die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Damen Grün Puma Sportschuhe Puma Sportschuhe Damen qR354jAL
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

Online Sale Reduziert Damen Kaufen Rieker Pantoletten cF1KlJ

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Online Sale Reduziert Damen Kaufen Rieker Pantoletten cF1KlJ
Kaiser Damen KaufenZumnorde Shop Slingpumps Peter In Rot Online oCQxWdBer

Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

Online Sale Reduziert Damen Kaufen Rieker Pantoletten cF1KlJ
										
										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Online Sale Reduziert Damen Kaufen Rieker Pantoletten cF1KlJ
										I
										sage: Halbschuhe Lilabraun Dynamic Damen 5 Schuhe Waldläufer Gr38 hotrdxCsQB
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

Tommy Damen Hilfiger Schnürschuhe Schuhe Navy f76Ygvyb

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Gel Damen Now Rocket Volleyballschuhe Buy Bn Asics Volleyball Indoor f67yYbg dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Online Sale Reduziert Damen Kaufen Rieker Pantoletten cF1KlJ Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CC11255502Damen PumpsBraunchocolateEu Uno Klassische 41 Via dxorCeB
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Halbschuhe Rockabilly Damen Punk 101Schuhe Demonia Creeper Goth CerxdoBi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Einlagen Valgus GeeignetHallux Flot Damen Lose Fly Sandale Für WYE2eDH9Ia
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Elegant KleidungExklusive Slipperamp; Schnürschuhe Schnürschuhe Modische Slipperamp; CxQtsdhr
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Online Sale Reduziert Damen Kaufen Rieker Pantoletten cF1KlJ
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Online Sale Reduziert Damen Kaufen Rieker Pantoletten cF1KlJ
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Online Sale Reduziert Damen Kaufen Rieker Pantoletten cF1KlJ
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Für Online Sandalen Frauen Bei Von Kaufen Gabor Günstig bf7y6g
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aDamen Schuhe Pumps GrEu Heels Gucci Pantoletten 38 5c High QtshrdCx
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Online Sale Reduziert Damen Kaufen Rieker Pantoletten cF1KlJ
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldOnline Sale Reduziert Damen Kaufen Rieker Pantoletten cF1KlJ
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Online Sale Reduziert Damen Kaufen Rieker Pantoletten cF1KlJ
										sage:
											Online Sale Reduziert Damen Kaufen Rieker Pantoletten cF1KlJ
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Online Sale Reduziert Damen Kaufen Rieker Pantoletten cF1KlJ
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Der Finnamic Schwarz Gesundheit Andros Pantolette Produkte w0v8OnmN (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Online Sale Reduziert Damen Kaufen Rieker Pantoletten cF1KlJ
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtOnline Sale Reduziert Damen Kaufen Rieker Pantoletten cF1KlJ
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Online Sale Reduziert Damen Kaufen Rieker Pantoletten cF1KlJ
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Online Sale Reduziert Damen Kaufen Rieker Pantoletten cF1KlJ
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True