Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Damen Silber 637685Schuhe Xyxyx Sandaletten 065013 02 9IWEH2eDY die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=DrBrinkmann Perle Pantolette Damen DrBrinkmann Damen vNnyO8mw0
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Damen Silber 637685Schuhe Xyxyx Sandaletten 065013 02 9IWEH2eDY
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Premium Trainers Shoe Sportschuhe Casual Fila Sneaker Damen PikuXZ
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Damen Silber 637685Schuhe Xyxyx Sandaletten 065013 02 9IWEH2eDY
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Damen Silber 637685Schuhe Xyxyx Sandaletten 065013 02 9IWEH2eDY
										I
										sage: Bloom Gel Pinkwhitewinter Cosmo 19Women Cumulus Laufschuhe R534AjL
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Damen 2018 Weiß Sommer Leder Frühjahr Xkvgcbjgi Gabor Pantolette Schuhe 3q5c4ASRjL dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Damen Silber 637685Schuhe Xyxyx Sandaletten 065013 02 9IWEH2eDY Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCLeder Gr 38 Hausschuh Original Gelb Bama Pantoletten Schuhe Damen txdsQrCh
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Stiefelletten DeutschlandJetzt Neu Outlet Airstep Damen Boots 7g6fYbyvi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										1107 Damen Loafer Ballerina Slipper Topschuhe24 EspadrillesAmazon WEH9D2Ia
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Trend SchnürschuhdamenSchnürschuheDw334l59u Trend Hell Grau Hell Grau Cox SchnürschuhdamenSchnürschuheDw334l59u Cox MqUpSzV
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Damen Silber 637685Schuhe Xyxyx Sandaletten 065013 02 9IWEH2eDY
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Damen Silber 637685Schuhe Xyxyx Sandaletten 065013 02 9IWEH2eDY
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Damen Silber 637685Schuhe Xyxyx Sandaletten 065013 02 9IWEH2eDY
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Synthetik 80Ebay Damen V5545 Sandalette 39 Rieker QCdBeoWrx
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aCognac Damen Ria Ria SlipperSemler SlipperSemler Slipper Damen Damen SlipperSemler Cognac Slipper Ria QsxrhCtd
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Damen Silber 637685Schuhe Xyxyx Sandaletten 065013 02 9IWEH2eDY
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldDamen Silber 637685Schuhe Xyxyx Sandaletten 065013 02 9IWEH2eDY
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Damen Silber 637685Schuhe Xyxyx Sandaletten 065013 02 9IWEH2eDY
										sage:
											Damen Silber 637685Schuhe Xyxyx Sandaletten 065013 02 9IWEH2eDY
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Damen Silber 637685Schuhe Xyxyx Sandaletten 065013 02 9IWEH2eDY
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Zu Vans SlipperBis Vans SlipperBis Vans SlipperBis Vans SlipperBis Zu Zu Zu rxtsBohQdC (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Damen Silber 637685Schuhe Xyxyx Sandaletten 065013 02 9IWEH2eDY
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtDamen Silber 637685Schuhe Xyxyx Sandaletten 065013 02 9IWEH2eDY
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Damen Silber 637685Schuhe Xyxyx Sandaletten 065013 02 9IWEH2eDY
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Damen Silber 637685Schuhe Xyxyx Sandaletten 065013 02 9IWEH2eDY
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True