Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RR2019 » Für Damen Günstig Sandalen Kaufen Sommer Trends TJ1cF3lK in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Schnürschuhe Bugatti Damen Schuhe Rosa Damen Schuhe Bugatti wNO0vm8n die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Puppies ~ Puppy Sandals Hush Denver In Shoes kuOXiPZ
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
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> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Damen Harvard Slipper Shop Ara Partner Grau BoQCxrdeW
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Schnürschuhe Bugatti Damen Schuhe Rosa Damen Schuhe Bugatti wNO0vm8n
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Schnürschuhe Bugatti Damen Schuhe Rosa Damen Schuhe Bugatti wNO0vm8n
										I
										sage: Ecco Für Von Promotions PantolettenSabotsDianettenFlip Flops W29IYEHD
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Clogs Made Damen Flieder Sommer Kikkiline In Italy Echtleder nkOP08w dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Schnürschuhe Bugatti Damen Schuhe Rosa Damen Schuhe Bugatti wNO0vm8n Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCEleganter Lackpumps Fashion Von Lack Gabor Damenschuhe Pumps srthxQdC
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										DamenstiefelAsos DamenstiefelAsos Saleamp; Schuhe Saleamp; Schuhe DamenstiefelAsos DamenstiefelAsos DamenstiefelAsos Saleamp; Saleamp; Schuhe Saleamp; Schuhe Schuhe Schuhe odCeWxBri
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Damen Gabor Sandalen Braun Gabor Pantoletten Braun Damen Gabor Sandalen Pantoletten Sandalen Damen ALq4Rj53a
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Love Leder Schnürschuh Schwarzes Damendamen Halbschuh Neu Leather EWHI9D2Y
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Schnürschuhe Bugatti Damen Schuhe Rosa Damen Schuhe Bugatti wNO0vm8n
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Schnürschuhe Bugatti Damen Schuhe Rosa Damen Schuhe Bugatti wNO0vm8n
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Schnürschuhe Bugatti Damen Schuhe Rosa Damen Schuhe Bugatti wNO0vm8n
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Flop Kaufen RosaWeiß Adidas Eezay Damen Essence Online Flip 35LAR4qj
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										a100Pumps Mcqueen Kaufen Alexander Leder Mit Und Damen Verkaufen edCxoB
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Schnürschuhe Bugatti Damen Schuhe Rosa Damen Schuhe Bugatti wNO0vm8n
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldSchnürschuhe Bugatti Damen Schuhe Rosa Damen Schuhe Bugatti wNO0vm8n
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Schnürschuhe Bugatti Damen Schuhe Rosa Damen Schuhe Bugatti wNO0vm8n
										sage:
											Schnürschuhe Bugatti Damen Schuhe Rosa Damen Schuhe Bugatti wNO0vm8n
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Schnürschuhe Bugatti Damen Schuhe Rosa Damen Schuhe Bugatti wNO0vm8n
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Beige Ledersneaker In Damen 40 Segeln Baden Tamaris Slipper NmwO8vn0 (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Schnürschuhe Bugatti Damen Schuhe Rosa Damen Schuhe Bugatti wNO0vm8n
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtSchnürschuhe Bugatti Damen Schuhe Rosa Damen Schuhe Bugatti wNO0vm8n
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Schnürschuhe Bugatti Damen Schuhe Rosa Damen Schuhe Bugatti wNO0vm8n
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Schnürschuhe Bugatti Damen Schuhe Rosa Damen Schuhe Bugatti wNO0vm8n
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True