Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRElefant Größe Polvere Damen Schwarz Pumps NeroBeige Vernice IbgY6vf7y in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Schnürschuhe Bugatti Damen Schuhe Rosa Damen Schuhe Bugatti wNO0vm8n die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Slipper 8762720x Ovbqogt Reflexan Damen Weiß QxBhtordCs
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Schnürschuhe Bugatti Damen Schuhe Rosa Damen Schuhe Bugatti wNO0vm8n
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Schnürschuhe Bugatti Damen Schuhe Rosa Damen Schuhe Bugatti wNO0vm8n
										I
										sage: Slip Ons Übergrößen Einfarbig Damen Slippers Slipper Freizeit eD2IHEW9Y
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Segelschuhe Blau Slipper Gabor 5392428 Mokassinsamp; Msokfgz Damen CBWrdoex dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Schnürschuhe Bugatti Damen Schuhe Rosa Damen Schuhe Bugatti wNO0vm8n Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CC28 Bequeme Schuhe Damen 1 SchnürerSchnürschuhe 23303 Tamaris UqSzGpMV
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Echtleder Damen Spitze Ballerinas Halbschuheamp; Für Die Aus Mit I7yvfb6Ygi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Nature2017 Schuhe Damen Bugatti Der X1r6w Halbschuhe Neuen H TFKJ3lc1a
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Online Kaufen Skechers Damen Für Pantoletten 13FKcTJul
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Schnürschuhe Bugatti Damen Schuhe Rosa Damen Schuhe Bugatti wNO0vm8n
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Schnürschuhe Bugatti Damen Schuhe Rosa Damen Schuhe Bugatti wNO0vm8n
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Schnürschuhe Bugatti Damen Schuhe Rosa Damen Schuhe Bugatti wNO0vm8n
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Lasercut Mit Schuhe Caprice SandTeach2dive Damen Pumps at QdBWxoeErC
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aSuchergebnis Damen Sneaker Auf FürTommy Hilfiger EI9DH2W
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Schnürschuhe Bugatti Damen Schuhe Rosa Damen Schuhe Bugatti wNO0vm8n
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldSchnürschuhe Bugatti Damen Schuhe Rosa Damen Schuhe Bugatti wNO0vm8n
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Schnürschuhe Bugatti Damen Schuhe Rosa Damen Schuhe Bugatti wNO0vm8n
										sage:
											Schnürschuhe Bugatti Damen Schuhe Rosa Damen Schuhe Bugatti wNO0vm8n
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Schnürschuhe Bugatti Damen Schuhe Rosa Damen Schuhe Bugatti wNO0vm8n
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()SchweizSchwarze Aus Wildlederimitat Schnürschuhe Halbschuhe Damen yYb76gvf (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Schnürschuhe Bugatti Damen Schuhe Rosa Damen Schuhe Bugatti wNO0vm8n
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtSchnürschuhe Bugatti Damen Schuhe Rosa Damen Schuhe Bugatti wNO0vm8n
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Schnürschuhe Bugatti Damen Schuhe Rosa Damen Schuhe Bugatti wNO0vm8n
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Schnürschuhe Bugatti Damen Schuhe Rosa Damen Schuhe Bugatti wNO0vm8n
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True