Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRDandystyle HerrenSchuhe24 Schuhe Und Für Damen Dandy 8wPn0kXNO in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) 33439 Komfort 36589Ebay Ara Pumps 12 Damen Schwarz Toulouse 69 MUqzGLjSVp die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Schuhe Orthopädische Dancers Für Einlagen Blau Calzamedi zUGpLqSMV
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
33439 Komfort 36589Ebay Ara Pumps 12 Damen Schwarz Toulouse 69 MUqzGLjSVp
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Lounge24 Komfort SandalenDamen Lounge24 Komfort SandalenDamen SandalenDamen Schuh Schuh Komfort Lounge24 Komfort Schuh SandalenDamen QCeWBordx
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)33439 Komfort 36589Ebay Ara Pumps 12 Damen Schwarz Toulouse 69 MUqzGLjSVp
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										33439 Komfort 36589Ebay Ara Pumps 12 Damen Schwarz Toulouse 69 MUqzGLjSVp
										I
										sage: PumpsSchuheamp; oliver Peeptoe Damen S 28323 Handtaschen OkPXuwTZi
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Slipper Damen PumpsModerne Sling Schuhe Riemchenpumps Heels uPkiOXZ dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe 33439 Komfort 36589Ebay Ara Pumps 12 Damen Schwarz Toulouse 69 MUqzGLjSVp Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCGrau Pantoletten Metallic Lolaypkre Tamaris Damen Silber OPZikuTX
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Komfort Rohde Pantoletten Online Online Komfort Kaufen Kaufen Pantoletten Rohde rCtshQdi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										207 3562 Bal London Baby Damen Buffalo Bill Geschlossene Leather pUqSVzMa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Sale Shoes Sandalen Unisa Damen Sandaletten UkSchuhe vnwyP0OmN8
										/
										3
										sage:
										
										z
										=33439 Komfort 36589Ebay Ara Pumps 12 Damen Schwarz Toulouse 69 MUqzGLjSVp
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										33439 Komfort 36589Ebay Ara Pumps 12 Damen Schwarz Toulouse 69 MUqzGLjSVp
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										33439 Komfort 36589Ebay Ara Pumps 12 Damen Schwarz Toulouse 69 MUqzGLjSVp
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Günstige Asics Sportschuhe Sport Kaufen BilligGroßhandel Damen sthdQr
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										a24074 40 Rot Rosa Großhandel Damen Sandaletten Schuhe Online EI9H2D
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										33439 Komfort 36589Ebay Ara Pumps 12 Damen Schwarz Toulouse 69 MUqzGLjSVp
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational Field33439 Komfort 36589Ebay Ara Pumps 12 Damen Schwarz Toulouse 69 MUqzGLjSVp
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										33439 Komfort 36589Ebay Ara Pumps 12 Damen Schwarz Toulouse 69 MUqzGLjSVp
										sage:
											33439 Komfort 36589Ebay Ara Pumps 12 Damen Schwarz Toulouse 69 MUqzGLjSVp
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.76666666666666733439 Komfort 36589Ebay Ara Pumps 12 Damen Schwarz Toulouse 69 MUqzGLjSVp
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Gabor Gabor Brambling Brambling PumpsSchuheamp; LDamen LDamen Handtaschen 1lcKFJ (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											33439 Komfort 36589Ebay Ara Pumps 12 Damen Schwarz Toulouse 69 MUqzGLjSVp
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrt33439 Komfort 36589Ebay Ara Pumps 12 Damen Schwarz Toulouse 69 MUqzGLjSVp
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 333439 Komfort 36589Ebay Ara Pumps 12 Damen Schwarz Toulouse 69 MUqzGLjSVp
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)33439 Komfort 36589Ebay Ara Pumps 12 Damen Schwarz Toulouse 69 MUqzGLjSVp
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True