Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRKeilabsatz Damen Turnschuhe Sneaker 8cm Lily999 Wedges Mit 3Aq54RjL in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Sandaletten Damen Ilay Klassische Tamaris Sandalette Taupe wm8n0ONv die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Esprit Damen Pantoletten Neu Silber Glitzer OZTPuwkXli
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Sandaletten Damen Ilay Klassische Tamaris Sandalette Taupe wm8n0ONv
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										224712 SlipperBlaunavy39 Tamaris Handtaschen Damen EuSchuheamp; Iyb7gf6Yv
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Sandaletten Damen Ilay Klassische Tamaris Sandalette Taupe wm8n0ONv
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Sandaletten Damen Ilay Klassische Tamaris Sandalette Taupe wm8n0ONv
										I
										sage: Beach 80Reduziert Venice 80Reduziert OutletBis Venice Beach Beach OutletBis Beach OutletBis 80Reduziert Venice Venice zMSVpqU
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Damen Cambridge Red Mary Jane Brush Polley DrMartens Vegan Cherry CxrdBWQoeE dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Sandaletten Damen Ilay Klassische Tamaris Sandalette Taupe wm8n0ONv Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCFür 17 723 21 21 Damen 723 Shop In Sandalette Schwarz Gabor zpGqMVSU
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Rieker 01 Damen Pantolette L0597 Sabots Schwarz Pn8k0wOXi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Für Online Hilfiger Damen Kaufen Pantoletten Tommy 0mO8vNnwa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Puma Online Auf Und Günstig Geld Sparen Schuhe Kaufen FT1cu3lKJ
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Sandaletten Damen Ilay Klassische Tamaris Sandalette Taupe wm8n0ONv
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Sandaletten Damen Ilay Klassische Tamaris Sandalette Taupe wm8n0ONv
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Sandaletten Damen Ilay Klassische Tamaris Sandalette Taupe wm8n0ONv
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Beste Print Sneaker Damen Joopu Schuhe C Kravia Edaphne u eE9YDWHI2b
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aLeder Blau 16Reduziert Kaufen Online Sandalette Um Gabor 2W9YbDeHEI
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Sandaletten Damen Ilay Klassische Tamaris Sandalette Taupe wm8n0ONv
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldSandaletten Damen Ilay Klassische Tamaris Sandalette Taupe wm8n0ONv
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Sandaletten Damen Ilay Klassische Tamaris Sandalette Taupe wm8n0ONv
										sage:
											Sandaletten Damen Ilay Klassische Tamaris Sandalette Taupe wm8n0ONv
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Sandaletten Damen Ilay Klassische Tamaris Sandalette Taupe wm8n0ONv
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()ParadiesSchnürschuh Damen Sneaker Model Philippe XZuPiOk (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Sandaletten Damen Ilay Klassische Tamaris Sandalette Taupe wm8n0ONv
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtSandaletten Damen Ilay Klassische Tamaris Sandalette Taupe wm8n0ONv
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Sandaletten Damen Ilay Klassische Tamaris Sandalette Taupe wm8n0ONv
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Sandaletten Damen Ilay Klassische Tamaris Sandalette Taupe wm8n0ONv
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True