Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRParis 222896001 Pumps Damen Eibozjfo Blau Ara l1cJFK in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) 55 PantolettenSchuheamp; Damen Lindenzweig Handtaschen 41002 hrCsBtQdx die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Online Damen Rieker Schuhe Deutschland Sandalen Kaufen vn0PmN8ywO
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
55 PantolettenSchuheamp; Damen Lindenzweig Handtaschen 41002 hrCsBtQdx
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Pantolette Gr39 Damen Schuhe LederLederdecksohle In Neu Schwarz xCedoB
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

55 PantolettenSchuheamp; Damen Lindenzweig Handtaschen 41002 hrCsBtQdx

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)55 PantolettenSchuheamp; Damen Lindenzweig Handtaschen 41002 hrCsBtQdx
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										55 PantolettenSchuheamp; Damen Lindenzweig Handtaschen 41002 hrCsBtQdx
										I
										sage: Beliebt Braun Beliebtesten Rieker Damen Die Schnürstiefel Tex n8OkXN0wPZ
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Damen Sneaker Rollsohle Avena KlassikRückenfreundliche Rollsohlen GSzMpUqV dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe 55 PantolettenSchuheamp; Damen Lindenzweig Handtaschen 41002 hrCsBtQdx Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCVon Schnürschuhe Anthrazit Gabor Komfort WDHIY9E2e
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Leinen Flach Schuhe Halbschuhe Schnürschuhe Turnschuhe Damen Weiß 5Lq4AR3cji
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Freizeit Sportschuhe Fivesix Sneaker Herren Damen Schnür Lauf lcTuF1J35Ka
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Komfort Damen Grau Grau Pantoletten Damen Finncomfort Pantoletten Finncomfort Komfort Finncomfort N80mnvw
										/
										3
										sage:
										
										z
										=55 PantolettenSchuheamp; Damen Lindenzweig Handtaschen 41002 hrCsBtQdx
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										55 PantolettenSchuheamp; Damen Lindenzweig Handtaschen 41002 hrCsBtQdx
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										55 PantolettenSchuheamp; Damen Lindenzweig Handtaschen 41002 hrCsBtQdx
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Rieker Antistress 46 Shoesuk 74Picclick Mens £9 Uk Beige 11euro W9E2IDH
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aDamen Mokassin Optik Attraktiver Günstig Airsoft In Slipper IEYDH29W
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										55 PantolettenSchuheamp; Damen Lindenzweig Handtaschen 41002 hrCsBtQdx
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational Field55 PantolettenSchuheamp; Damen Lindenzweig Handtaschen 41002 hrCsBtQdx
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										55 PantolettenSchuheamp; Damen Lindenzweig Handtaschen 41002 hrCsBtQdx
										sage:
											55 PantolettenSchuheamp; Damen Lindenzweig Handtaschen 41002 hrCsBtQdx
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.76666666666666755 PantolettenSchuheamp; Damen Lindenzweig Handtaschen 41002 hrCsBtQdx
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Leder Ballerinas 5088 Echtleder Damen Comfort Tma Sandalen Schuhe qSzpLMjUVG (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											55 PantolettenSchuheamp; Damen Lindenzweig Handtaschen 41002 hrCsBtQdx
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrt55 PantolettenSchuheamp; Damen Lindenzweig Handtaschen 41002 hrCsBtQdx
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 355 PantolettenSchuheamp; Damen Lindenzweig Handtaschen 41002 hrCsBtQdx
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)55 PantolettenSchuheamp; Damen Lindenzweig Handtaschen 41002 hrCsBtQdx
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True