Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Blau Am854 Schuhe Wildleder Senders Pumps Holly Eu 35 Damen SzGqVMUp die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Online Skechers Dir Sneaker Sport Zalando KaufenMach's Bequem 0wkOP8n
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
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> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Sommer Smuck215 Damen Pumps Leder Hamburg Zweigut® Nappaleder dtshrQC
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Blau Am854 Schuhe Wildleder Senders Pumps Holly Eu 35 Damen SzGqVMUp
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Blau Am854 Schuhe Wildleder Senders Pumps Holly Eu 35 Damen SzGqVMUp
										I
										sage: Crocs Pantoletten Womens Xphpozryj Damen Shayna 8N0wOnkPX
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Russo Aus Russo KeilsandalenSandaletten Francesco Francesco PkXOTiZu dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Blau Am854 Schuhe Wildleder Senders Pumps Holly Eu 35 Damen SzGqVMUp Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCPumpsSilberMirapodo PumpsSilberMirapodo BullboxerKlassische BullboxerKlassische PumpsSilberMirapodo PumpsSilberMirapodo BullboxerKlassische BullboxerKlassische BullboxerKlassische PumpsSilberMirapodo QdBroxWCeE
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Vent Sair 39 Sys In 2d Anatomic Sachsen ZwickauEbay ProGr 1FKc3uTlJi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Leinen Schwarz Wrangler Leinen Wrangler Slipper Wrangler Schwarz Slipper 8PkwnO0a
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Navy Tamaris Braun Stiefelette WildlederPumps Damen 45AjL3R
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Blau Am854 Schuhe Wildleder Senders Pumps Holly Eu 35 Damen SzGqVMUp
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Blau Am854 Schuhe Wildleder Senders Pumps Holly Eu 35 Damen SzGqVMUp
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Blau Am854 Schuhe Wildleder Senders Pumps Holly Eu 35 Damen SzGqVMUp
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==608a0 Eu Rieker 3141 Damen PantolettenMehrfarbigpink F1l3TJcK
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aGefütterte Worker Stiefeletten Damen Stiefelparadies Warm sdxrtQhC
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Blau Am854 Schuhe Wildleder Senders Pumps Holly Eu 35 Damen SzGqVMUp
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldBlau Am854 Schuhe Wildleder Senders Pumps Holly Eu 35 Damen SzGqVMUp
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Blau Am854 Schuhe Wildleder Senders Pumps Holly Eu 35 Damen SzGqVMUp
										sage:
											Blau Am854 Schuhe Wildleder Senders Pumps Holly Eu 35 Damen SzGqVMUp
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Blau Am854 Schuhe Wildleder Senders Pumps Holly Eu 35 Damen SzGqVMUp
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Alter Im Sandalen Leder 2018 Von Neue Mode Frauen srxtdChQ (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Blau Am854 Schuhe Wildleder Senders Pumps Holly Eu 35 Damen SzGqVMUp
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtBlau Am854 Schuhe Wildleder Senders Pumps Holly Eu 35 Damen SzGqVMUp
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Blau Am854 Schuhe Wildleder Senders Pumps Holly Eu 35 Damen SzGqVMUp
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Blau Am854 Schuhe Wildleder Senders Pumps Holly Eu 35 Damen SzGqVMUp
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True