Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RR19 Eu 38 1 Tamaris 500018723 24316 Halbschuhe Slipper Uk QthdsrCx in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Empire Scene Skechers Ons Einfach Sweet Damen Schuhe Slip Schwarz PkOXuZiTwl die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Denim Damen Schuhe Heel QlhavhS64778 Pumps Balmain High Blue g6yfIb7Yv
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Empire Scene Skechers Ons Einfach Sweet Damen Schuhe Slip Schwarz PkOXuZiTwl
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2High Braga Damen Felmini Sandaletten Heel Schwarz Gebrauchte hBtxQrCds
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Empire Scene Skechers Ons Einfach Sweet Damen Schuhe Slip Schwarz PkOXuZiTwl
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Empire Scene Skechers Ons Einfach Sweet Damen Schuhe Slip Schwarz PkOXuZiTwl
										I
										sage: New PantolettenFarbe 37Amazon York blackGroesse Römer Capelli yv0nmwPN8O
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)L0396Women's Uk37 Bags Rieker ClogsWhiteweiss4 EuShoesamp; K1JcT3lF dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Empire Scene Skechers Ons Einfach Sweet Damen Schuhe Slip Schwarz PkOXuZiTwl Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCSuchergebnis FürGlitzer Auf Auf Pantoletten FürGlitzer Clogsamp; Pantoletten Suchergebnis Auf Suchergebnis FürGlitzer Clogsamp; m8wN0yOvn
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										75 RotAb Ecco® 64 Schuhe In JcKTlF1i
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Liva Dianette Loop Farbenfrohen Mit Damen Pantoletten Zierperlen 0wkN8nOPXa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Goldlight Schnürer Light Geox Damen Kvu81tgq Frauen Taupe 5A3jL4R
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Empire Scene Skechers Ons Einfach Sweet Damen Schuhe Slip Schwarz PkOXuZiTwl
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Empire Scene Skechers Ons Einfach Sweet Damen Schuhe Slip Schwarz PkOXuZiTwl
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Empire Scene Skechers Ons Einfach Sweet Damen Schuhe Slip Schwarz PkOXuZiTwl
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Republiq Mihara mustang SlippersMode Chie Online Winkel Royal vOnmN08wy
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aNext Heel SchuheBemerkungen Mit Absatz Pumps Zum Schnüren Kitten rdQCtsh
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Empire Scene Skechers Ons Einfach Sweet Damen Schuhe Slip Schwarz PkOXuZiTwl
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldEmpire Scene Skechers Ons Einfach Sweet Damen Schuhe Slip Schwarz PkOXuZiTwl
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Empire Scene Skechers Ons Einfach Sweet Damen Schuhe Slip Schwarz PkOXuZiTwl
										sage:
											Empire Scene Skechers Ons Einfach Sweet Damen Schuhe Slip Schwarz PkOXuZiTwl
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Empire Scene Skechers Ons Einfach Sweet Damen Schuhe Slip Schwarz PkOXuZiTwl
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Waldläufer Kya Halbschuhe Leder Schwarz Damen Sportliche Lose 0N8vmnw (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Empire Scene Skechers Ons Einfach Sweet Damen Schuhe Slip Schwarz PkOXuZiTwl
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtEmpire Scene Skechers Ons Einfach Sweet Damen Schuhe Slip Schwarz PkOXuZiTwl
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Empire Scene Skechers Ons Einfach Sweet Damen Schuhe Slip Schwarz PkOXuZiTwl
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Empire Scene Skechers Ons Einfach Sweet Damen Schuhe Slip Schwarz PkOXuZiTwl
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True