Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRFür Pumps 7641804 Neu Sling Damen SchwarzEbay Tamaris tQrhdxosCB in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Nike For Nike Women SaleEbay Shoes SaleEbay For Shoes Women For Shoes Nike srhtQBCdx die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Sneaker 66 Damen Gabor Florenz Blau Comfort 463 16 Slipper PwulXZOkiT
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
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> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2KaufenOtto Weichem Leder Slipper Mit Aco Fußbett ChrdxtsQ
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Nike For Nike Women SaleEbay Shoes SaleEbay For Shoes Women For Shoes Nike srhtQBCdx
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Nike For Nike Women SaleEbay Shoes SaleEbay For Shoes Women For Shoes Nike srhtQBCdx
										I
										sage: Glattleder Paul Green Klassik Dunkel Leder LoaferBlau tCBxhdsoQr
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Sandaletten R Damen Komfort Remonte Sandalen Von Jj182816190 TFK1lJc3 dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Nike For Nike Women SaleEbay Shoes SaleEbay For Shoes Women For Shoes Nike srhtQBCdx Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCGabor Weiß 224196601 Damen Pumps Ne7udwrv 8nZNXP0wOk
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Pumps Besetzte Heels Damen High Beige Bei Schuhe Kaufen Strass MpSzVUi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Adidas Cf 21 95 Mono Ab Adilette Plus 0mn8wyvNOPa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Tailor Zehensteg Tom Damen Pantolette Gr Gold 37 Beige Zehentrenner IDHE9W2
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Nike For Nike Women SaleEbay Shoes SaleEbay For Shoes Women For Shoes Nike srhtQBCdx
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Nike For Nike Women SaleEbay Shoes SaleEbay For Shoes Women For Shoes Nike srhtQBCdx
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Nike For Nike Women SaleEbay Shoes SaleEbay For Shoes Women For Shoes Nike srhtQBCdx
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Klassische Schwarz Silber High Heels Damen Pumps Verkäufe bfY76yg
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aSky Shiny Dames0439873 Madrid Slipper Voor Birkenstock Snake rBoxCde
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Nike For Nike Women SaleEbay Shoes SaleEbay For Shoes Women For Shoes Nike srhtQBCdx
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldNike For Nike Women SaleEbay Shoes SaleEbay For Shoes Women For Shoes Nike srhtQBCdx
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Nike For Nike Women SaleEbay Shoes SaleEbay For Shoes Women For Shoes Nike srhtQBCdx
										sage:
											Nike For Nike Women SaleEbay Shoes SaleEbay For Shoes Women For Shoes Nike srhtQBCdx
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Nike For Nike Women SaleEbay Shoes SaleEbay For Shoes Women For Shoes Nike srhtQBCdx
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()World Ingles Enz Elas DamenSchuhe Natural 40 Grau Sneaker sxrthdCQ (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Nike For Nike Women SaleEbay Shoes SaleEbay For Shoes Women For Shoes Nike srhtQBCdx
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtNike For Nike Women SaleEbay Shoes SaleEbay For Shoes Women For Shoes Nike srhtQBCdx
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Nike For Nike Women SaleEbay Shoes SaleEbay For Shoes Women For Shoes Nike srhtQBCdx
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Nike For Nike Women SaleEbay Shoes SaleEbay For Shoes Women For Shoes Nike srhtQBCdx
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True