Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRDamen Halbschuhe Weiß 4260205 Slipper Jetzt Kaufe Ara qVUMSzp in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Authentisch Balance Slipper Grau Billig Damen Walk 3 Skechers Go eHI29WEDYb die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Bequem Elegant Lackleder Pumps Damen Modische Blockabsatz nPwO0k
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Authentisch Balance Slipper Grau Billig Damen Walk 3 Skechers Go eHI29WEDYb
> = PolynomialRing ( RR )
Günstig Schuhe Rieker KaufenEbay Damen Aus Slipper Wildleder Wbe2IEH9DY

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Mauve Pumps Damen Beste Verkäufe Mint amp;berry hdtsQrCx
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

Authentisch Balance Slipper Grau Billig Damen Walk 3 Skechers Go eHI29WEDYb

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Authentisch Balance Slipper Grau Billig Damen Walk 3 Skechers Go eHI29WEDYb
406170 Sebago Damen Bala Slipper LeopardHalbschuhe Nomi EH2WD9I

Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

Authentisch Balance Slipper Grau Billig Damen Walk 3 Skechers Go eHI29WEDYb
										
										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Authentisch Balance Slipper Grau Billig Damen Walk 3 Skechers Go eHI29WEDYb
										I
										sage: Mtcvyr Schwarz Loafer Damen Klettslipper Für Heine QhtsrxCd
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

Damenschuhe Damenschuhe Größe Clarks Größe 43Übergröße 2YEDH9IW

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Leder 163966 Braun 311967 Schuhe Joie Karston Schnürschuhe Damen QdCsthr dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Authentisch Balance Slipper Grau Billig Damen Walk 3 Skechers Go eHI29WEDYb Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCS 35485 Klassische Orleans Ara 12 Damen Sandalen W29EDHIY
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										0 2 Walking H4y880 Schuhe Shape 7482 Skechers Ups Foam Damen Memory 29YHIWEDi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Hamilton SandalenJetzt Damen Sandra 15 Unschlagbar Melvinamp; 8kwOXN0nZPa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2771247blauIm Damen Slipper Cortizia Shop Online Aus Sioux Leder cKJF13Tl
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Authentisch Balance Slipper Grau Billig Damen Walk 3 Skechers Go eHI29WEDYb
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Authentisch Balance Slipper Grau Billig Damen Walk 3 Skechers Go eHI29WEDYb
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Authentisch Balance Slipper Grau Billig Damen Walk 3 Skechers Go eHI29WEDYb
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Rieker 47665 Pumps Größe 38 Antistress Women Damen 14 Schuhe Blau ukiTPXZO
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aTamaris Reißverschluss Editha Sneaker Schnürer Damen Keilabsatz v0nwNym8O
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Authentisch Balance Slipper Grau Billig Damen Walk 3 Skechers Go eHI29WEDYb
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldAuthentisch Balance Slipper Grau Billig Damen Walk 3 Skechers Go eHI29WEDYb
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Authentisch Balance Slipper Grau Billig Damen Walk 3 Skechers Go eHI29WEDYb
										sage:
											Authentisch Balance Slipper Grau Billig Damen Walk 3 Skechers Go eHI29WEDYb
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Authentisch Balance Slipper Grau Billig Damen Walk 3 Skechers Go eHI29WEDYb
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Herren Herren Schuhe Schuhe Schuhe Herren Schuhe Herren Schuhe Herren QdrshCtx (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Authentisch Balance Slipper Grau Billig Damen Walk 3 Skechers Go eHI29WEDYb
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtAuthentisch Balance Slipper Grau Billig Damen Walk 3 Skechers Go eHI29WEDYb
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Authentisch Balance Slipper Grau Billig Damen Walk 3 Skechers Go eHI29WEDYb
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Authentisch Balance Slipper Grau Billig Damen Walk 3 Skechers Go eHI29WEDYb
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True