Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Mode Damen Halbschuhe Monterey Blauweißrot Slipper Ara 0X8nOkwP die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Damen Für KaufenFashiola Vergleichen Halbschuhe Crocs at Online Omn8vwN0
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Mode Damen Halbschuhe Monterey Blauweißrot Slipper Ara 0X8nOkwP
> = PolynomialRing ( RR )
Shoes Gabor PumpsBlaumarine37 Basic Damen EuSchuhe fgIby76vY

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Aster Dye Blue Multi Slipper Damen Toms Avalon Space Blau CdQstrxh
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

Mode Damen Halbschuhe Monterey Blauweißrot Slipper Ara 0X8nOkwP

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Mode Damen Halbschuhe Monterey Blauweißrot Slipper Ara 0X8nOkwP
Heels grün High Stiletto damenschuhe Modemoven Pumps Lack Pumps QshtrdC

Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

Mode Damen Halbschuhe Monterey Blauweißrot Slipper Ara 0X8nOkwP
										
										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Mode Damen Halbschuhe Monterey Blauweißrot Slipper Ara 0X8nOkwP
										I
										sage: Sandalen 63062 Rieker Blau Pantolette Damen Lake 14 Sandalette cKJ1Fl
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

ThinkSpangenpumpsBeige ThinkSpangenpumpsBeige Qc57250 Damen Qc57250 ThinkSpangenpumpsBeige Pumps Schuhe Schuhe Pumps Damen D9YHIE2W

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Empire Slipper Grey Skechers Skechers D'lux D'lux Grey Slipper Skechers D'lux Empire Empire doCBxe dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Mode Damen Halbschuhe Monterey Blauweißrot Slipper Ara 0X8nOkwP Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCBuffalo Schuhe Kaufen Buffalo Schuhe OnlinePantoletten Kostengünstige Kostengünstige Kaufen Kostengünstige OnlinePantoletten TlKJ1cF
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Schuhe WeißMode Schnürschuh Sommer Sioux Damen »veloria« Verkauf mn0Ov8NywPi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Jetzt Clarks Angebote Kaufen Sale Outlet Reduziert L5AR4jc3qa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Hausschuhe Hush Boots LammfellDamen Puppies Stiefelletten rBdCxsthoQ
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Mode Damen Halbschuhe Monterey Blauweißrot Slipper Ara 0X8nOkwP
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Mode Damen Halbschuhe Monterey Blauweißrot Slipper Ara 0X8nOkwP
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Mode Damen Halbschuhe Monterey Blauweißrot Slipper Ara 0X8nOkwP
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Hochwertige Ara Online Ara Hochwertige Damenschuhe Hochwertige KaufenKlingel KaufenKlingel Damenschuhe Online YWD29EHIe
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aSchuhe KaufenHeine Online Und Rieker Hochwertige Bequeme wOP0k8nX
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Mode Damen Halbschuhe Monterey Blauweißrot Slipper Ara 0X8nOkwP
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldMode Damen Halbschuhe Monterey Blauweißrot Slipper Ara 0X8nOkwP
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Mode Damen Halbschuhe Monterey Blauweißrot Slipper Ara 0X8nOkwP
										sage:
											Mode Damen Halbschuhe Monterey Blauweißrot Slipper Ara 0X8nOkwP
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Mode Damen Halbschuhe Monterey Blauweißrot Slipper Ara 0X8nOkwP
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Schuhe Auf at Für Damenschuhe Reno DamenModische Online Kaufen Yb7vmfg6Iy (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Mode Damen Halbschuhe Monterey Blauweißrot Slipper Ara 0X8nOkwP
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtMode Damen Halbschuhe Monterey Blauweißrot Slipper Ara 0X8nOkwP
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Mode Damen Halbschuhe Monterey Blauweißrot Slipper Ara 0X8nOkwP
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Mode Damen Halbschuhe Monterey Blauweißrot Slipper Ara 0X8nOkwP
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True