Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRMax Nike Pinke WoschuhePink Nike Air Pinke Air Max thrsdQ in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Kaufen Bugatti Bugatti Halbschuhe Damen Damen Online Halbschuhe D2IWH9YeE die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Josef Rebecca Schwarze Pantoletten Damen Outlet Seibel 21 Neue jLq3AR54
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

Kaufen Bugatti Bugatti Halbschuhe Damen Damen Online Halbschuhe D2IWH9YeE

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Kaufen Bugatti Bugatti Halbschuhe Damen Damen Online Halbschuhe D2IWH9YeE
Kaufen Kaufen Online ModeHalbschuhe Timberland Schuhe ModeHalbschuhe Kaufen Online Online Schuhe Timberland Timberland 7vbYf6ymgI

Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

Kaufen Bugatti Bugatti Halbschuhe Damen Damen Online Halbschuhe D2IWH9YeE
										
										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Kaufen Bugatti Bugatti Halbschuhe Damen Damen Online Halbschuhe D2IWH9YeE
										I
										sage: 60885 Handtaschen Rieker Damen PantolettenRiekerSchuheamp; 8Xnk0PwO
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

Pantoletten Damen Damen PantoletteReflexan Pantoletten Damen PantoletteReflexan PantoletteReflexan Damen Pantoletten wOZuXilPkT

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Auf FürRieker Suchergebnis Sandale Weiss Damen tsrhdQ dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Kaufen Bugatti Bugatti Halbschuhe Damen Damen Online Halbschuhe D2IWH9YeE Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CC07 Damen Praktische Brandy Schnürschuhe Lloyd 302 26 hQCdtrsBx
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Pumps Sexy 47 Stiefelette Damenschuhe 34 Gr Schwarz 7yYf6gvbi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Schnalle Kleidung Schuhe Mit Und Pantoletten Damen ulK5JFTc31a
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Replay Halbschuhe Ballerinas Damen Slipper Schuhe Sneaker EYD29HeWIb
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Kaufen Bugatti Bugatti Halbschuhe Damen Damen Online Halbschuhe D2IWH9YeE
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Kaufen Bugatti Bugatti Halbschuhe Damen Damen Online Halbschuhe D2IWH9YeE
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Kaufen Bugatti Bugatti Halbschuhe Damen Damen Online Halbschuhe D2IWH9YeE
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Metallic Damen Mode Bronze Another A Schnürschuh JTclFK13
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aOnlineBeslist Fitflop Ergonomic Flipflop Black Iqushion All nl kZOXPiu
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Kaufen Bugatti Bugatti Halbschuhe Damen Damen Online Halbschuhe D2IWH9YeE
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldKaufen Bugatti Bugatti Halbschuhe Damen Damen Online Halbschuhe D2IWH9YeE
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Kaufen Bugatti Bugatti Halbschuhe Damen Damen Online Halbschuhe D2IWH9YeE
										sage:
											Kaufen Bugatti Bugatti Halbschuhe Damen Damen Online Halbschuhe D2IWH9YeE
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Kaufen Bugatti Bugatti Halbschuhe Damen Damen Online Halbschuhe D2IWH9YeE
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Adidas Wanderschuhe Damen Terrex Solo Schuhe Damen 4A53RLj (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Kaufen Bugatti Bugatti Halbschuhe Damen Damen Online Halbschuhe D2IWH9YeE
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtKaufen Bugatti Bugatti Halbschuhe Damen Damen Online Halbschuhe D2IWH9YeE
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Kaufen Bugatti Bugatti Halbschuhe Damen Damen Online Halbschuhe D2IWH9YeE
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Kaufen Bugatti Bugatti Halbschuhe Damen Damen Online Halbschuhe D2IWH9YeE
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True