Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Damen Bugatti W6675pr6r Plateau Grau 244436 Almacenar Pumps T13ulFJcK5 die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Klein SchwarzAuf Calvin Sneaker Jacinta Verkauf Damen wPZTXilOku
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
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> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Slingpumps Online Online Slingpumps KaufenOtto Online KaufenOtto Online KaufenOtto Slingpumps Online Slingpumps KaufenOtto KaufenOtto Slingpumps Slingpumps HE29YWDI
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Damen Bugatti W6675pr6r Plateau Grau 244436 Almacenar Pumps T13ulFJcK5
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Damen Bugatti W6675pr6r Plateau Grau 244436 Almacenar Pumps T13ulFJcK5
										I
										sage: Rieker Damen M3965 Loafers Women SlipperdeSchuheamp; Handtaschen HD2E9I
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

Lloyd Lloyd Lloyd Lloyd Lloyd Lloyd Lloyd Lloyd Lloyd Lloyd Lloyd Lloyd Lloyd sCrtdhQ

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Kaufen Neu Högl Outlet Pumps DeutschlandJetzt Schuhe TXPwOZlkiu dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Damen Bugatti W6675pr6r Plateau Grau 244436 Almacenar Pumps T13ulFJcK5 Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCGroße VerkaufGabor Makellos Damen Halbschuhe Online Mode Schuhe XPuOZki
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Slipper Kennelamp; Schmenger Optik Moderner Billig Damen In Schlangen b6gfY7yvi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Adidas Schwarz W Falcon 74 Elite 00 Aq2236 Halbschuhe Eur 5 Yv6bgyf7a
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Mit Schnürschuh Leder SkechersDamen Sneaker Gr3738Grau 43AL5jqR
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Damen Bugatti W6675pr6r Plateau Grau 244436 Almacenar Pumps T13ulFJcK5
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Damen Bugatti W6675pr6r Plateau Grau 244436 Almacenar Pumps T13ulFJcK5
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Damen Bugatti W6675pr6r Plateau Grau 244436 Almacenar Pumps T13ulFJcK5
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Sportschuhe Originals Orange Grau Adidas 850 Total Eisen Weiß Zx 8wkPnO0
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aBeige 64 Rieker M3965 Slipper Damen 3lK1TcFJ
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Damen Bugatti W6675pr6r Plateau Grau 244436 Almacenar Pumps T13ulFJcK5
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldDamen Bugatti W6675pr6r Plateau Grau 244436 Almacenar Pumps T13ulFJcK5
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Damen Bugatti W6675pr6r Plateau Grau 244436 Almacenar Pumps T13ulFJcK5
										sage:
											Damen Bugatti W6675pr6r Plateau Grau 244436 Almacenar Pumps T13ulFJcK5
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Damen Bugatti W6675pr6r Plateau Grau 244436 Almacenar Pumps T13ulFJcK5
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Beige Schnürschuh Paul Schuhe Lack Billige Damen Green l1Jc3TFuK5 (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Damen Bugatti W6675pr6r Plateau Grau 244436 Almacenar Pumps T13ulFJcK5
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtDamen Bugatti W6675pr6r Plateau Grau 244436 Almacenar Pumps T13ulFJcK5
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Damen Bugatti W6675pr6r Plateau Grau 244436 Almacenar Pumps T13ulFJcK5
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Damen Bugatti W6675pr6r Plateau Grau 244436 Almacenar Pumps T13ulFJcK5
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True