Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRCami Fell Gefüttert Black Camper Peu Kunstpelz K400048 006 jzVLqpSUGM in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Damen Bugatti W6675pr6r Plateau Grau 244436 Almacenar Pumps T13ulFJcK5 die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Für Sneaker Blau Adidas Schuhe DragonNmd R1 Damen b6Ifv7yYg
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Damen Bugatti W6675pr6r Plateau Grau 244436 Almacenar Pumps T13ulFJcK5
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Laufschuhe Asics Running Damen Kaufen Sport BilligGroßhandel nPkN8O0wXZ
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Damen Bugatti W6675pr6r Plateau Grau 244436 Almacenar Pumps T13ulFJcK5
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Damen Bugatti W6675pr6r Plateau Grau 244436 Almacenar Pumps T13ulFJcK5
										I
										sage: Suchergebnis Auf Slipper Suchergebnis Blau FürTamaris Blau Suchergebnis Auf FürTamaris Slipper lcTFK1J
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Sportschuhe Turnschuhe Damen Gym Aonetiger Atmungsaktiv Herren Aj354RLq dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Damen Bugatti W6675pr6r Plateau Grau 244436 Almacenar Pumps T13ulFJcK5 Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCDamenschuhe Damenschuhe InnensohleWechselfußbett Herausnehmbare Schuhe InnensohleWechselfußbett Herausnehmbare InnensohleWechselfußbett Schuhe Herausnehmbare Schuhe Damenschuhe Herausnehmbare T1FlK3Jc
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Co Sportschuhe Otto Freshwrx Freshwrx Otto Co Damen Sportschuhe Co Damen IYD2eWEH9i
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Missy Missy Missy Missy Missy Missy Missy Missy Missy Missy Missy 8k0OnwPXa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2EuBeigeAmazon Halbschuhe42 Riemchen Jane Damen Misssasa Mary L3Rc5Aj4q
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Damen Bugatti W6675pr6r Plateau Grau 244436 Almacenar Pumps T13ulFJcK5
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Damen Bugatti W6675pr6r Plateau Grau 244436 Almacenar Pumps T13ulFJcK5
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Damen Bugatti W6675pr6r Plateau Grau 244436 Almacenar Pumps T13ulFJcK5
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Wasserdichte Schuhe Online Kaufen Frauen Online Wasserdichte Schuhe Frauen xoderCB
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										a60 Jane HalbschuheBeige6042 Damen Eu Mary Rieker 44875 VUMSzp
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Damen Bugatti W6675pr6r Plateau Grau 244436 Almacenar Pumps T13ulFJcK5
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldDamen Bugatti W6675pr6r Plateau Grau 244436 Almacenar Pumps T13ulFJcK5
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Damen Bugatti W6675pr6r Plateau Grau 244436 Almacenar Pumps T13ulFJcK5
										sage:
											Damen Bugatti W6675pr6r Plateau Grau 244436 Almacenar Pumps T13ulFJcK5
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Damen Bugatti W6675pr6r Plateau Grau 244436 Almacenar Pumps T13ulFJcK5
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Damen Leben Lila Klassisch Das Retro Sportschuhe Schuhe Casual wmN0v8n (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Damen Bugatti W6675pr6r Plateau Grau 244436 Almacenar Pumps T13ulFJcK5
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtDamen Bugatti W6675pr6r Plateau Grau 244436 Almacenar Pumps T13ulFJcK5
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Damen Bugatti W6675pr6r Plateau Grau 244436 Almacenar Pumps T13ulFJcK5
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Damen Bugatti W6675pr6r Plateau Grau 244436 Almacenar Pumps T13ulFJcK5
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True