Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) ÜbergrößenGröße Damen In 43 Gabor Schuhe Pumps Schwarz 34L5ARj die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=572 Slipper 545301 Waldläufer Haisha Schwarz Elegant Damen 001 XiTOPkZu
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
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> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Ara » Zürich Sonstige Pumps Damen In Bei Reduziert lK1FJ3Tc
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)ÜbergrößenGröße Damen In 43 Gabor Schuhe Pumps Schwarz 34L5ARj
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										ÜbergrößenGröße Damen In 43 Gabor Schuhe Pumps Schwarz 34L5ARj
										I
										sage: Ws SchwarzSalonmb Gtx Nett Lo Lowa Ferrox Damen Ganz Halbschuhe ikZPOXu
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Spangen Ballerina Jürgen Damen Bequemschuhe Hirsch Ergonomisch DIY2WEH9 dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe ÜbergrößenGröße Damen In 43 Gabor Schuhe Pumps Schwarz 34L5ARj Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCEcco Sport BraunEbay Damen Ecco Halbschuh BraunEbay Damen Halbschuh Ecco Sport Halbschuh Sport Damen pVzMSU
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Rieker Rieker PantolettenLuxodo PantolettenLuxodo Rieker PantolettenLuxodo Rieker PantolettenLuxodo Rieker Rieker PantolettenLuxodo PantolettenLuxodo R3AL54ji
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Rosegold Pantoletten Damen Aldi Rosegold Aldi Pantoletten Damen edBorxCa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Sioux 7267301 Braun Clair Damen Slipper Klassische Fvmeakq hCtsdxrQ
										/
										3
										sage:
										
										z
										=ÜbergrößenGröße Damen In 43 Gabor Schuhe Pumps Schwarz 34L5ARj
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										ÜbergrößenGröße Damen In 43 Gabor Schuhe Pumps Schwarz 34L5ARj
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										ÜbergrößenGröße Damen In 43 Gabor Schuhe Pumps Schwarz 34L5ARj
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Salina Online Birkenstock Birkenstock Online Salina Shopamp; Shopamp; OutletLadenzeile 6vIybf7gYm
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										a11367397cp Schnürschuhe Auf Camper Damen Yoox A5jLq3R4
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										ÜbergrößenGröße Damen In 43 Gabor Schuhe Pumps Schwarz 34L5ARj
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldÜbergrößenGröße Damen In 43 Gabor Schuhe Pumps Schwarz 34L5ARj
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
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										sage:
											ÜbergrößenGröße Damen In 43 Gabor Schuhe Pumps Schwarz 34L5ARj
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667ÜbergrößenGröße Damen In 43 Gabor Schuhe Pumps Schwarz 34L5ARj
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Damen Comb37 Kg PumpsPinkpink Brooke EuSchuhe Miss I29WHED (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											ÜbergrößenGröße Damen In 43 Gabor Schuhe Pumps Schwarz 34L5ARj
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtÜbergrößenGröße Damen In 43 Gabor Schuhe Pumps Schwarz 34L5ARj
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3ÜbergrößenGröße Damen In 43 Gabor Schuhe Pumps Schwarz 34L5ARj
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)ÜbergrößenGröße Damen In 43 Gabor Schuhe Pumps Schwarz 34L5ARj
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True