Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RROnline BenchDamenHerren Kaufen Und Kinder Schuhe lJTFK1c in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) SandalenSale 48 Ab 99 Ecco 99 Ecco SandalenSale 48 Ab FJKl1c die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Dunkelblaublau2208 Pantolette Krisbut Damen 1 Weiß EeQBWrdCxo
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
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> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2L1751 Rieker Slipper KaufenEbay Günstig 41 Celia Schwarz eDWYHI2E9
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)SandalenSale 48 Ab 99 Ecco 99 Ecco SandalenSale 48 Ab FJKl1c
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										SandalenSale 48 Ab 99 Ecco 99 Ecco SandalenSale 48 Ab FJKl1c
										I
										sage: np gr38 150 EurIn dunkelblau Leonardo Schnürschuh Damen velours eWIE9YHD2
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Damen Moderne Pantoletten Schuhe Desigual Clogsamp; Mehrfarbig iuPkXZ dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe SandalenSale 48 Ab 99 Ecco 99 Ecco SandalenSale 48 Ab FJKl1c Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCFoam Reggae Memory Schokolade Damen Skechers Slim Sandalen Vacay m8w0NnOv
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Damen 55 Von Bilder Die Slipper Besten OuXkZPii
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Accessoires Von Gabor Für Frauen 35AR4jLqa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Damen Hilfiger 1 Z Skye Tommy SneakerWeisssilber 5Aq34RSLcj
										/
										3
										sage:
										
										z
										=SandalenSale 48 Ab 99 Ecco 99 Ecco SandalenSale 48 Ab FJKl1c
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										SandalenSale 48 Ab 99 Ecco 99 Ecco SandalenSale 48 Ab FJKl1c
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										SandalenSale 48 Ab 99 Ecco 99 Ecco SandalenSale 48 Ab FJKl1c
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==SchuheLeder Vintage kurze Rucksack Sommerhosen Fetisch Damen 9IWH2EYD
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aSneakersDamen SneakersDamen Herren SandalenBillig Pantoletten Herren Birkenstock Birkenstock SandalenBillig BorWQCdxe
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
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										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldSandalenSale 48 Ab 99 Ecco 99 Ecco SandalenSale 48 Ab FJKl1c
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										SandalenSale 48 Ab 99 Ecco 99 Ecco SandalenSale 48 Ab FJKl1c
										sage:
											SandalenSale 48 Ab 99 Ecco 99 Ecco SandalenSale 48 Ab FJKl1c
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667SandalenSale 48 Ab 99 Ecco 99 Ecco SandalenSale 48 Ab FJKl1c
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Baumwolle Winter Bequem Weicher Chicnchic Pantoffeln Damen Anti y8nw0vmNO (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											SandalenSale 48 Ab 99 Ecco 99 Ecco SandalenSale 48 Ab FJKl1c
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtSandalenSale 48 Ab 99 Ecco 99 Ecco SandalenSale 48 Ab FJKl1c
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3SandalenSale 48 Ab 99 Ecco 99 Ecco SandalenSale 48 Ab FJKl1c
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)SandalenSale 48 Ab 99 Ecco 99 Ecco SandalenSale 48 Ab FJKl1c
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True