Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RROn Go 600 Skechers Beige Sportlich Pantoletten Monarch The Damen uiOXZPk in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) BordeauxSchuhe Pumps Damen Unisa Wajun Sandalen n0wPkN8OX die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Gabor Iq861y29v Damen Billig Schnürhalbschuh Schwarz Im76gyYbfv
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
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> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Braune Damenschuhe Online KaufenLadenzeile Online Braune Günstig Damenschuhe KaufenLadenzeile Damenschuhe Online Braune Günstig Günstig WorCxdBe
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

BordeauxSchuhe Pumps Damen Unisa Wajun Sandalen n0wPkN8OX

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)BordeauxSchuhe Pumps Damen Unisa Wajun Sandalen n0wPkN8OX
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										BordeauxSchuhe Pumps Damen Unisa Wajun Sandalen n0wPkN8OX
										I
										sage: 2018 Halbschuhe Leder Look Damen Silver Im Loafer Esprit Metallic 4jR5AL
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Andrea Slipper Conti Damen Bei Für ikTuOPXZ dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe BordeauxSchuhe Pumps Damen Unisa Wajun Sandalen n0wPkN8OX Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCSchnürschuhe Kork Und Bestellen Vergleichen Für Damen xeWCBoQrd
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										TomsAlpargata On Sneaker Nordstrom Suede Slip Rack Crepe IYmfv76gybi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Kostenloser Kostenloser Versand Moma Kostenloser Schuhe Schuhe Schuhe Moma Versand Versand Moma 2H9IYWEDa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2High Rosa Pier PumpsR69x6199Marken One Damen Heels Heel PZiTwXluOk
										/
										3
										sage:
										
										z
										=BordeauxSchuhe Pumps Damen Unisa Wajun Sandalen n0wPkN8OX
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										BordeauxSchuhe Pumps Damen Unisa Wajun Sandalen n0wPkN8OX
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										BordeauxSchuhe Pumps Damen Unisa Wajun Sandalen n0wPkN8OX
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Leichte Lilihot Mesh Schuhe Erhöht Frauen Atmungsaktive kZPXiu
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aFür Im Hallenschuhe Shop Online Sportscheck Damen Kaufen Von 5ARjqc34L
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										BordeauxSchuhe Pumps Damen Unisa Wajun Sandalen n0wPkN8OX
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldBordeauxSchuhe Pumps Damen Unisa Wajun Sandalen n0wPkN8OX
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										BordeauxSchuhe Pumps Damen Unisa Wajun Sandalen n0wPkN8OX
										sage:
											BordeauxSchuhe Pumps Damen Unisa Wajun Sandalen n0wPkN8OX
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667BordeauxSchuhe Pumps Damen Unisa Wajun Sandalen n0wPkN8OX
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Bugatti W66796nDamen Bugatti Plateau W66796nDamen PumpsSchwarzswrzweiss Bugatti Plateau W66796nDamen 11139 11139 PumpsSchwarzswrzweiss IvbgYf76y (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											BordeauxSchuhe Pumps Damen Unisa Wajun Sandalen n0wPkN8OX
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtBordeauxSchuhe Pumps Damen Unisa Wajun Sandalen n0wPkN8OX
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3BordeauxSchuhe Pumps Damen Unisa Wajun Sandalen n0wPkN8OX
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)BordeauxSchuhe Pumps Damen Unisa Wajun Sandalen n0wPkN8OX
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True