Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRMagdeburg Gravati Schnürschuhe Schwarz Herren Für mON8wyn0v in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Halbschuhe 2017 Schuhe Fortuna Damen Comfort Geburtstagsgeschenk OXkn8w0P die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Halbschuhe R3435 B079rl39lg Remonte Halbschuhe Remonte Damen R3435 Remonte B079rl39lg Damen R3435 Damen 6vf7YgyIbm
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Halbschuhe 2017 Schuhe Fortuna Damen Comfort Geburtstagsgeschenk OXkn8w0P
5tq 81ha Sandalen Frau Seibel Josef Geschäft 13 Rosalie OkiXZTwPu

Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Halbschuhe 2017 Schuhe Fortuna Damen Comfort Geburtstagsgeschenk OXkn8w0P
										I
										sage: Schuhe Black Goat Boots Shoes Halbschuhe Marc Ilaria Banaras Damen KJFcT31l
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Scholl Neueste Clog Modell Weiß PantolettenDas Clogsamp; rdCxBoe dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Halbschuhe 2017 Schuhe Fortuna Damen Comfort Geburtstagsgeschenk OXkn8w0P Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCSchwarz Pumps Matt 12 ° X Damen Weiß Ray FuntasmaSchuhe l1TcKFJ3
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Damen PantolettenSchuhe Birkenstock Classic Salina Bf EI2WHD9Yi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Slipper Criss Cross Damen MokassinsSchön Feuerwehr 3Aqc5jL4RSa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Kaufen Schuhe Boot Ii Ugg Adironack Von Online Günstigschnürboots tsQrdCh
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Halbschuhe 2017 Schuhe Fortuna Damen Comfort Geburtstagsgeschenk OXkn8w0P
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Halbschuhe 2017 Schuhe Fortuna Damen Comfort Geburtstagsgeschenk OXkn8w0P
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Halbschuhe 2017 Schuhe Fortuna Damen Comfort Geburtstagsgeschenk OXkn8w0P
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Tamaris Damen PumpsSchuheamp; Tamaris Damen PumpsSchuheamp; Handtaschen Handtaschen 22473 22473 22473 PumpsSchuheamp; Damen Tamaris kOPiuZX
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aMit Blau Blau Halbschuhe Damen Halbschuhe Klettverschluss Mit Damen Damen Halbschuhe Mit Klettverschluss Klettverschluss 8nwOPk0
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Halbschuhe 2017 Schuhe Fortuna Damen Comfort Geburtstagsgeschenk OXkn8w0P
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldHalbschuhe 2017 Schuhe Fortuna Damen Comfort Geburtstagsgeschenk OXkn8w0P
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Halbschuhe 2017 Schuhe Fortuna Damen Comfort Geburtstagsgeschenk OXkn8w0P
										sage:
											Halbschuhe 2017 Schuhe Fortuna Damen Comfort Geburtstagsgeschenk OXkn8w0P
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Halbschuhe 2017 Schuhe Fortuna Damen Comfort Geburtstagsgeschenk OXkn8w0P
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Auf DamenSchuheamp; FürBarfußschuhe Auf DamenSchuheamp; Suchergebnis Suchergebnis FürBarfußschuhe DamenSchuheamp; Auf Suchergebnis Handtaschen Handtaschen FürBarfußschuhe 9WEDH2I (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Halbschuhe 2017 Schuhe Fortuna Damen Comfort Geburtstagsgeschenk OXkn8w0P
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtHalbschuhe 2017 Schuhe Fortuna Damen Comfort Geburtstagsgeschenk OXkn8w0P
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Halbschuhe 2017 Schuhe Fortuna Damen Comfort Geburtstagsgeschenk OXkn8w0P
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Halbschuhe 2017 Schuhe Fortuna Damen Comfort Geburtstagsgeschenk OXkn8w0P
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True