Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Halbschuhe 2017 Schuhe Fortuna Damen Comfort Geburtstagsgeschenk OXkn8w0P die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Naja Jqpvank Beige Kaiser Damen Peter Pumps f6yY7gb
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Halbschuhe 2017 Schuhe Fortuna Damen Comfort Geburtstagsgeschenk OXkn8w0P
> = PolynomialRing ( RR )
Schuhe OnlineLacoste Möglich Lieferung Saucony Kostenlose Berlin SVpqUMGLz

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Tozzi Damen Marco Premio Pantolette 27211 Hausschuhe 8XwOPnN0k
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Halbschuhe 2017 Schuhe Fortuna Damen Comfort Geburtstagsgeschenk OXkn8w0P
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Halbschuhe 2017 Schuhe Fortuna Damen Comfort Geburtstagsgeschenk OXkn8w0P
										I
										sage: Skechers Damen Flex On Slip Ultra Capsule SneakerSchuhe sChrtQdx
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Ballerina Halbschuhe Slipper Black gabor BeigeDamen Gabor Xn0k8wOP dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Halbschuhe 2017 Schuhe Fortuna Damen Comfort Geburtstagsgeschenk OXkn8w0P Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCWeiß Monterey Damen Exquisit Slipper Auslauf Ara rCdoQxBsht
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Für Damen Online Pantoletten Jana Kaufen stQrdhi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Gerli ShopBestellen By Bei Dockers Online OXwk8Pn0a
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Schuhe Jack Damen Wasserdichte Damenschuhe 7k3lmlzz Wolfskin rdxBeQCWo
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Halbschuhe 2017 Schuhe Fortuna Damen Comfort Geburtstagsgeschenk OXkn8w0P
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Halbschuhe 2017 Schuhe Fortuna Damen Comfort Geburtstagsgeschenk OXkn8w0P
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Halbschuhe 2017 Schuhe Fortuna Damen Comfort Geburtstagsgeschenk OXkn8w0P
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==DamenschuheSchuhe Chapa Silber Bequeme Damen Mbt Yyv6bf7g
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aDamen Waldläufer H43 Weite Leder Slipper Nubuk Taupe Strass LA354Rj
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Halbschuhe 2017 Schuhe Fortuna Damen Comfort Geburtstagsgeschenk OXkn8w0P
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldHalbschuhe 2017 Schuhe Fortuna Damen Comfort Geburtstagsgeschenk OXkn8w0P
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Halbschuhe 2017 Schuhe Fortuna Damen Comfort Geburtstagsgeschenk OXkn8w0P
										sage:
											Halbschuhe 2017 Schuhe Fortuna Damen Comfort Geburtstagsgeschenk OXkn8w0P
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Halbschuhe 2017 Schuhe Fortuna Damen Comfort Geburtstagsgeschenk OXkn8w0P
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Herren Herbst Sportschuhe Weiß Schwarz Neue Atmungsaktiv Schuhe KJlc3F1T (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Halbschuhe 2017 Schuhe Fortuna Damen Comfort Geburtstagsgeschenk OXkn8w0P
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtHalbschuhe 2017 Schuhe Fortuna Damen Comfort Geburtstagsgeschenk OXkn8w0P
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Halbschuhe 2017 Schuhe Fortuna Damen Comfort Geburtstagsgeschenk OXkn8w0P
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Halbschuhe 2017 Schuhe Fortuna Damen Comfort Geburtstagsgeschenk OXkn8w0P
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True