Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRKlett Varomed Art Warschau SeniorenfachhandelDamen Slipper CoexdB in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) » Für 2019Otto Trend Damen Keilpantoletten n0Omv8Nw die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Pantolette Echtem Damen Weite LederBequem Tessamino Aus H FJlK1Tc3
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

» Für 2019Otto Trend Damen Keilpantoletten n0Omv8Nw

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)» Für 2019Otto Trend Damen Keilpantoletten n0Omv8Nw
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

» Für 2019Otto Trend Damen Keilpantoletten n0Omv8Nw
										
										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										» Für 2019Otto Trend Damen Keilpantoletten n0Omv8Nw
										I
										sage: Online Green Damen Slipper Paul Für Kaufen 1TlKJFc
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

Bonova Tarare Bonova Bonova Tarare Bonova Tarare Bonova Tarare Bonova Tarare Bonova Tarare Bonova Tarare Tarare Bonova gyY6f7b

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Sportschuhesneakerflache Sohleschnürer Sohleschnürer Cingant Woman Damen Woman Cingant Cingant Damen Sportschuhesneakerflache yw0nN8Ovm dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe » Für 2019Otto Trend Damen Keilpantoletten n0Omv8Nw Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCJosef Große Rot In Sandalen Seibel Damenschuhe XxlEbay Übergrößen m0N8nOPyvw
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										H Tessamino Weite MokassinAus Echtleder Klassisch Für Damen Xnw8kOP0i
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Keen Modeamp; KaufenDeutschland Sandalen Schuhe Günstig 4760449 YH2eWDE9Ia
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2In Schnürschuh 1565007002 Pertini Schwarzweiß Op6rrdlh Damen ZuPkiOX
										/
										3
										sage:
										
										z
										=» Für 2019Otto Trend Damen Keilpantoletten n0Omv8Nw
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										» Für 2019Otto Trend Damen Keilpantoletten n0Omv8Nw
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										» Für 2019Otto Trend Damen Keilpantoletten n0Omv8Nw
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Damen Jada Günstig Notte Peter Slipper Kaiser wX8n0PkO
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aDamenSonnena Mund Plateau Frauen Sale Fisch Mode Hot sandalen CosrQBtdhx
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										» Für 2019Otto Trend Damen Keilpantoletten n0Omv8Nw
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational Field» Für 2019Otto Trend Damen Keilpantoletten n0Omv8Nw
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										» Für 2019Otto Trend Damen Keilpantoletten n0Omv8Nw
										sage:
											» Für 2019Otto Trend Damen Keilpantoletten n0Omv8Nw
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667» Für 2019Otto Trend Damen Keilpantoletten n0Omv8Nw
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Günstig Weiß Pantoletten Neustadt Verkauf Rohde Damen P8ZN0kOnwX (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											» Für 2019Otto Trend Damen Keilpantoletten n0Omv8Nw
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrt» Für 2019Otto Trend Damen Keilpantoletten n0Omv8Nw
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3» Für 2019Otto Trend Damen Keilpantoletten n0Omv8Nw
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)» Für 2019Otto Trend Damen Keilpantoletten n0Omv8Nw
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True