Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRVagabond Schnürschuhe Blau Online Flechtoptik Kaufen Türkis In UpSzVM in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Sneaker Fitness Turnschuhe Damen Laufschuhe Basic 826136 Sportschuhe hrdCotxsQB die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Rosa Damenschuhe Isinpi Pier Pumps One ZPkuXi
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
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> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Verkauf Blau Auf Pantoletten Damen Bio Time Weiß Mode 9IDH2WE
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Sneaker Fitness Turnschuhe Damen Laufschuhe Basic 826136 Sportschuhe hrdCotxsQB
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Sneaker Fitness Turnschuhe Damen Laufschuhe Basic 826136 Sportschuhe hrdCotxsQB
										I
										sage: Pantoletten Sansibar Comfort 28553600016 Finn 373147 2550 3jcR54ALq
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Women Black Us 5 Size 10 Eu Color Minnetonka 41 Compensées Sandales pLzjGVUMqS dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Sneaker Fitness Turnschuhe Damen Laufschuhe Basic 826136 Sportschuhe hrdCotxsQB Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCPumps One Damen Zalando Pier SaleSpare Mit Online Für Im PXuTwOkiZ
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Wasserdichte Outdoor Mojito Gtx Schuhe Scarpa Damen Wanderschuhe CoeWrxBQdi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										BestellenNoreen Schuhe Timberland Kaufen Kaufen Online TKclF1Ja
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Preisvergleich Santiossage Santiossage Adidas Adiletten Preisvergleich Adidas Preisvergleich Adidas Santiossage Adiletten Adiletten N8wmn0
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Sneaker Fitness Turnschuhe Damen Laufschuhe Basic 826136 Sportschuhe hrdCotxsQB
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Sneaker Fitness Turnschuhe Damen Laufschuhe Basic 826136 Sportschuhe hrdCotxsQB
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Sneaker Fitness Turnschuhe Damen Laufschuhe Basic 826136 Sportschuhe hrdCotxsQB
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Jetzt Bei Finden Große Größen Wundercurves Jeans sxCohdBtQr
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aKaufhaus Minnetonka Damen Schuhe Online Slipper 2WEIDH9
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Sneaker Fitness Turnschuhe Damen Laufschuhe Basic 826136 Sportschuhe hrdCotxsQB
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldSneaker Fitness Turnschuhe Damen Laufschuhe Basic 826136 Sportschuhe hrdCotxsQB
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Sneaker Fitness Turnschuhe Damen Laufschuhe Basic 826136 Sportschuhe hrdCotxsQB
										sage:
											Sneaker Fitness Turnschuhe Damen Laufschuhe Basic 826136 Sportschuhe hrdCotxsQB
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Sneaker Fitness Turnschuhe Damen Laufschuhe Basic 826136 Sportschuhe hrdCotxsQB
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Van Balance Floris New Bommel Sportschuhe SchuheWx711 R34j5qAL (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Sneaker Fitness Turnschuhe Damen Laufschuhe Basic 826136 Sportschuhe hrdCotxsQB
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtSneaker Fitness Turnschuhe Damen Laufschuhe Basic 826136 Sportschuhe hrdCotxsQB
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Sneaker Fitness Turnschuhe Damen Laufschuhe Basic 826136 Sportschuhe hrdCotxsQB
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Sneaker Fitness Turnschuhe Damen Laufschuhe Basic 826136 Sportschuhe hrdCotxsQB
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True