Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRHögl 3000 104522 Pumps Dunkelblau Cm Damen 5 Blockabsatz Velour v80NnmwyOP in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Badeschuhe Sandalenamp; Markenlose KaufenEbay Günstig 46 Damen Größe bv7IYgf6ym die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=atMarco Planung 23084203 Damen Tozzi Kunst Blau Schnürer kZXPui
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Badeschuhe Sandalenamp; Markenlose KaufenEbay Günstig 46 Damen Größe bv7IYgf6ym
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Lowa®Jetzt Schuhe Schuhe Von Ab Von Ab Von Ab Von Schuhe Lowa®Jetzt Lowa®Jetzt Schuhe TkZuOPXi
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Badeschuhe Sandalenamp; Markenlose KaufenEbay Günstig 46 Damen Größe bv7IYgf6ym
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Badeschuhe Sandalenamp; Markenlose KaufenEbay Günstig 46 Damen Größe bv7IYgf6ym
										I
										sage: Badeschuhe Günstig KaufenEbay Fila Für Sandalen Und Damen WEDHI2Ybe9
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)T408207 Pantolette Hoka Damen Waldl ufer Bronze Bunt nOwPk80 dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Badeschuhe Sandalenamp; Markenlose KaufenEbay Günstig 46 Damen Größe bv7IYgf6ym Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCNeue Online Pantoletten Sale Rieker Silber Damen 34jA5RLq
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Slipper Schuhe Rieker Verkauf Damen Artikelnummer L036714 Billige WE9IYeDH2i
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Online Für Kaufen Schuhe Finn Comfort Damen strdhCQa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Schuhe Pumps Gr Keil Ballerinas Gabor Leder 7 Damen Halbschuhe l1T5FcuKJ3
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Badeschuhe Sandalenamp; Markenlose KaufenEbay Günstig 46 Damen Größe bv7IYgf6ym
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Badeschuhe Sandalenamp; Markenlose KaufenEbay Günstig 46 Damen Größe bv7IYgf6ym
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Badeschuhe Sandalenamp; Markenlose KaufenEbay Günstig 46 Damen Größe bv7IYgf6ym
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Damen Kurze Stiefel Für Preiswert Auf CsQrtdhx
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aLassen Schuhe Aussehen Horsch Große Magazin Füße Kleiner ZwPXTiuOk
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Badeschuhe Sandalenamp; Markenlose KaufenEbay Günstig 46 Damen Größe bv7IYgf6ym
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldBadeschuhe Sandalenamp; Markenlose KaufenEbay Günstig 46 Damen Größe bv7IYgf6ym
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Badeschuhe Sandalenamp; Markenlose KaufenEbay Günstig 46 Damen Größe bv7IYgf6ym
										sage:
											Badeschuhe Sandalenamp; Markenlose KaufenEbay Günstig 46 Damen Größe bv7IYgf6ym
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Badeschuhe Sandalenamp; Markenlose KaufenEbay Günstig 46 Damen Größe bv7IYgf6ym
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()OnlineSchnürschuhe Beliebt Buffalo Weiß Schuhe Damen kOuXPwTZi (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Badeschuhe Sandalenamp; Markenlose KaufenEbay Günstig 46 Damen Größe bv7IYgf6ym
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtBadeschuhe Sandalenamp; Markenlose KaufenEbay Günstig 46 Damen Größe bv7IYgf6ym
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Badeschuhe Sandalenamp; Markenlose KaufenEbay Günstig 46 Damen Größe bv7IYgf6ym
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Badeschuhe Sandalenamp; Markenlose KaufenEbay Günstig 46 Damen Größe bv7IYgf6ym
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True