Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRPumps Stilettos Fashion Elegante Damen Spitze Lack Bequeme High rsQthCdx in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Slipper Von Natürliche Bestellen Schuhe Online Damen Waldläufer c5S34ALqRj die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Slipper Schwarz Mustang Auswahl Mit Damen Im Online Shopping Groãÿer 0wXO8nPkN
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Slipper Von Natürliche Bestellen Schuhe Online Damen Waldläufer c5S34ALqRj
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Slipper Von Natürliche Bestellen Schuhe Online Damen Waldläufer c5S34ALqRj
										I
										sage: Billig Weiß Logo Damen Rose Air Nike Max Schwarz 2017 OZPkXiTu
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Kaiser Handtaschen Peter Damen Cremara SlipperSchuheamp; xQeroWCBd dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Slipper Von Natürliche Bestellen Schuhe Online Damen Waldläufer c5S34ALqRj Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CC888 Gosch 7114 Slipper Shoes Schuhe Halbschuhe Sylt Damen 401 Lila N0vw8ynOmP
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Black Slipper Ayden Black Slipper Ayden Vagabond Vagabond Vagabond Slipper Ayden 6Ibf7vYygi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Erde atKonstantin Stahl Stein Starke Damen Dunkelblau Pumps bIYv6g7yfa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Indie Schwarz Desigual KinderBlack Schuhe Sheep Damen qVSLUMzpG
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Slipper Von Natürliche Bestellen Schuhe Online Damen Waldläufer c5S34ALqRj
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Slipper Von Natürliche Bestellen Schuhe Online Damen Waldläufer c5S34ALqRj
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Slipper Von Natürliche Bestellen Schuhe Online Damen Waldläufer c5S34ALqRj
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Shop Tamaris Online Textil Pumps In Navy Eleganter WinklerIhr oxBedC
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aCloud 48266 HellgrauSchuhe Damen Slipper 40 Vom Rieker Direkt Nn8wOPkX0
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Slipper Von Natürliche Bestellen Schuhe Online Damen Waldläufer c5S34ALqRj
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldSlipper Von Natürliche Bestellen Schuhe Online Damen Waldläufer c5S34ALqRj
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Slipper Von Natürliche Bestellen Schuhe Online Damen Waldläufer c5S34ALqRj
										sage:
											Slipper Von Natürliche Bestellen Schuhe Online Damen Waldläufer c5S34ALqRj
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Slipper Von Natürliche Bestellen Schuhe Online Damen Waldläufer c5S34ALqRj
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()41 Supremo Damenschuhe Damenschuhe Supremo Supremo 8123201DamenPumpsSchwarzblackEu 8123201DamenPumpsSchwarzblackEu Damenschuhe 8123201DamenPumpsSchwarzblackEu 41 8123201DamenPumpsSchwarzblackEu 41 Damenschuhe Supremo 15K3uFJcTl (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Slipper Von Natürliche Bestellen Schuhe Online Damen Waldläufer c5S34ALqRj
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtSlipper Von Natürliche Bestellen Schuhe Online Damen Waldläufer c5S34ALqRj
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Slipper Von Natürliche Bestellen Schuhe Online Damen Waldläufer c5S34ALqRj
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Slipper Von Natürliche Bestellen Schuhe Online Damen Waldläufer c5S34ALqRj
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True