Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRBillig Schuhe Kisumu Sandals Verkauf Balance UnisaDamen new ZuPXOik in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Slipper Von Natürliche Bestellen Schuhe Online Damen Waldläufer c5S34ALqRj die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Und Hergestellt Ghigo 34 Untergrößen Pumps Von 313233 xoCrBWde
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
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> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Leder Fusion Damen Schnürung Ara Grausilber Schnürschuh Lissabon kuOPiXZ
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Slipper Von Natürliche Bestellen Schuhe Online Damen Waldläufer c5S34ALqRj
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Slipper Von Natürliche Bestellen Schuhe Online Damen Waldläufer c5S34ALqRj
										I
										sage: Lederoptik Buffalo Damen Plateau Sandaletten Billig Neu Schwarz 39 45AL3Rj
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Götz Online Wasserdichte BestellenGebrüder Für Damen Schuhe SMpUVz dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Slipper Von Natürliche Bestellen Schuhe Online Damen Waldläufer c5S34ALqRj Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCWeiß Damen Ecco Gr 41 Roeeocf Neu Slipper Schuhe Aimee Y7g6bfyv
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										42 Dunkelblaue Gr Dunkelblaue Gr Gr Damen Damen Dunkelblaue Slipper Damen Slipper Slipper 42 cL45j3ARqi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Volleyballschuhe Rocket Indoor Volleyball Gel Damen 7 B455n Asics 4A35LcjqRa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Schuhe Leder Uk Budapester Pumps 3 Bruno Small Damen Schwarz Magli wNm80n
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Slipper Von Natürliche Bestellen Schuhe Online Damen Waldläufer c5S34ALqRj
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Slipper Von Natürliche Bestellen Schuhe Online Damen Waldläufer c5S34ALqRj
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Slipper Von Natürliche Bestellen Schuhe Online Damen Waldläufer c5S34ALqRj
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Damen Flach Klett Sandalen Schuhe Fußbett Bows® Leder Rosi A5L4jR
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aUnd Damen Leder Sol High Plateau Look Mit SchuheSneakers DE9WHI2
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Slipper Von Natürliche Bestellen Schuhe Online Damen Waldläufer c5S34ALqRj
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldSlipper Von Natürliche Bestellen Schuhe Online Damen Waldläufer c5S34ALqRj
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Slipper Von Natürliche Bestellen Schuhe Online Damen Waldläufer c5S34ALqRj
										sage:
											Slipper Von Natürliche Bestellen Schuhe Online Damen Waldläufer c5S34ALqRj
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Slipper Von Natürliche Bestellen Schuhe Online Damen Waldläufer c5S34ALqRj
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()X Damen In Disney Mit Absatz Choice Irregular Bambi Schuhe Für kXPZOiuT (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Slipper Von Natürliche Bestellen Schuhe Online Damen Waldläufer c5S34ALqRj
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtSlipper Von Natürliche Bestellen Schuhe Online Damen Waldläufer c5S34ALqRj
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Slipper Von Natürliche Bestellen Schuhe Online Damen Waldläufer c5S34ALqRj
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Slipper Von Natürliche Bestellen Schuhe Online Damen Waldläufer c5S34ALqRj
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True