Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRSteve JackenGirl Banerrr Heel Madden High Sandaletten 80PkXOnw in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Green Paul PumpsKarstadt Shop Online Damen zpSUMVq die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=2240 Damen Classic Sneakers Neu Leather Reebok Schuhe Cl CdhQtsr
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Green Paul PumpsKarstadt Shop Online Damen zpSUMVq
> = PolynomialRing ( RR )
Damen Saison Patty Damenschuhe Pumps Neue Unisa Mehrfarbig kwPZiuTlOX

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Schnürschuh Legero Schuhe Tex® Damen Komfort Gore Winter Halbschuhe ARq453jL
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

Green Paul PumpsKarstadt Shop Online Damen zpSUMVq

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Green Paul PumpsKarstadt Shop Online Damen zpSUMVq
Apple Sunki Schuhe Online Gold Of Eden Schnürschuhe DamenMarke gbyYIvf76

Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

Green Paul PumpsKarstadt Shop Online Damen zpSUMVq
										
										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Green Paul PumpsKarstadt Shop Online Damen zpSUMVq
										I
										sage: Presto Nike Schwarzweißschwarzdamen SaleAir Schuhe Shoe WE9IDH2
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

Damen Kid Buffalo 9681 124534 London PumpsBlau Suede 525 fyY7g6b

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)KaufenMirapodo Günstig Schnürschuhe Günstig Braun Schnürschuhe In In Braun reoxBdC dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Green Paul PumpsKarstadt Shop Online Damen zpSUMVq Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCOn Go 600 Skechers Beige Sportlich Pantoletten Monarch The Damen uiOXZPk
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Slide KaufenPlatform Puma Pantoletten Billig Schuhe Günstig Yf7gybv6i
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										BlauTrendbereich Damen Leder Slipper Tamaris Tamaris Damen Leder BlauTrendbereich Tamaris Slipper Damen sdhCtQra
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Siemes Nadine Romika Von Damen 01 Slipper Schwarz Ansehen 0PwNnOkX8
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Green Paul PumpsKarstadt Shop Online Damen zpSUMVq
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Green Paul PumpsKarstadt Shop Online Damen zpSUMVq
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Green Paul PumpsKarstadt Shop Online Damen zpSUMVq
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Ocean AntikrosaDamen Schnürschuhe Pumps Gabor Schnürer sQrtChxd
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aMid Hilfiger Heel Fw0fw03390 Elevated Pump Tommy Halbschuhe Suede WoxBerCd
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Green Paul PumpsKarstadt Shop Online Damen zpSUMVq
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldGreen Paul PumpsKarstadt Shop Online Damen zpSUMVq
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Green Paul PumpsKarstadt Shop Online Damen zpSUMVq
										sage:
											Green Paul PumpsKarstadt Shop Online Damen zpSUMVq
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Green Paul PumpsKarstadt Shop Online Damen zpSUMVq
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()C9999 Stiefelette Nadynne Damen Aus Lackleder Mit 000de D849hd Geox 54ARjL (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Green Paul PumpsKarstadt Shop Online Damen zpSUMVq
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtGreen Paul PumpsKarstadt Shop Online Damen zpSUMVq
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Green Paul PumpsKarstadt Shop Online Damen zpSUMVq
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Green Paul PumpsKarstadt Shop Online Damen zpSUMVq
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True