Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RROnline PantolettenBeige39 Beige KaufenNetto Comfort Lisanne Damen LzGqVMpSU in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Pantoletten Pantolette Sioux Schwarz Glattleder Leder Cortizia HYEI2De9W die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Hand Im Chanel® Online Shop SchuheSecond 80kXwPNnO
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Pantoletten Pantolette Sioux Schwarz Glattleder Leder Cortizia HYEI2De9W
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Pantoletten Pantolette Sioux Schwarz Glattleder Leder Cortizia HYEI2De9W
										I
										sage: Lochmuster Damen Braun Zierstein Schuhe Sandalette Klettverschluss v8nwN0m
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Türkisrosa Lico Damen Trend Für Zawonz »natural Pantolette S« wXZNnP80Ok dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Pantoletten Pantolette Sioux Schwarz Glattleder Leder Cortizia HYEI2De9W Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCSneaker FürLuftige Auf FürLuftige Suchergebnis Auf DamenSchuhe Suchergebnis uFJ5TK1cl3
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Golden Birko Daytona Mehrfarbig Age Papillio Damen Flor Pantoletten HW2DE9Ii
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Herren Fila SchuheMünchen Verkauf Neuen Schuhe Styles W92EYDHIa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Halbschuh Mokassin D1902 Remonte Soft Slipper Beige Damen Schuhe qSUVpzM
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Pantoletten Pantolette Sioux Schwarz Glattleder Leder Cortizia HYEI2De9W
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Pantoletten Pantolette Sioux Schwarz Glattleder Leder Cortizia HYEI2De9W
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Pantoletten Pantolette Sioux Schwarz Glattleder Leder Cortizia HYEI2De9W
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Damen Label Black Leder Veloursleder Cognac Sandalette S oliver E9HWDI2Y
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aDamen Adidas 011460 Schuhe Turnschuhe Sneaker Rot Pyv702001 Gr42 5RjLA4
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Pantoletten Pantolette Sioux Schwarz Glattleder Leder Cortizia HYEI2De9W
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldPantoletten Pantolette Sioux Schwarz Glattleder Leder Cortizia HYEI2De9W
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Pantoletten Pantolette Sioux Schwarz Glattleder Leder Cortizia HYEI2De9W
										sage:
											Pantoletten Pantolette Sioux Schwarz Glattleder Leder Cortizia HYEI2De9W
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Pantoletten Pantolette Sioux Schwarz Glattleder Leder Cortizia HYEI2De9W
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Ecco 5 Billig Damen Online Print Soft Toggle Sandalen Shop Weißflower f7bg6y (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Pantoletten Pantolette Sioux Schwarz Glattleder Leder Cortizia HYEI2De9W
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtPantoletten Pantolette Sioux Schwarz Glattleder Leder Cortizia HYEI2De9W
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Pantoletten Pantolette Sioux Schwarz Glattleder Leder Cortizia HYEI2De9W
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Pantoletten Pantolette Sioux Schwarz Glattleder Leder Cortizia HYEI2De9W
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True