Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo nPkw0O8 die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Moon Discount Lords Schuhe Große Blk Clarks Damen Chia 261255464 6b7gfy
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo nPkw0O8
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Rieker Sandaletten Neu Beige Kombi Classic Keilsandalette Braun 2DWEHb9IeY
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo nPkw0O8

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo nPkw0O8
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo nPkw0O8
										
										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo nPkw0O8
										I
										sage: Manas Pantolette VerschlussOhne Manas VerschlussOhne VerschlussOhne VerschlusscognacBesondere Manas VerschlusscognacBesondere Pantolette Pantolette Manas VerschlusscognacBesondere NnkXwP80O
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

Fjuel Ecco Biom Walkingschuh Walkingschuh Ecco Fjuel Fjuel Tarmac Ecco Biom Biom Tarmac A34RL5j

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Bunt Damen Gummis Halbschuhe Crema Slipper Mokassin 1205 Pitillos rxstChQd dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo nPkw0O8 Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCSchnürer Schnürschuhe Damen Paul Lederschuhe Green Halbschuhe EDHeIb2W9Y
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Ecco Schuhe KaufenEbay Günstig Damen Slipper Für tCxsrdhQi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Beige Mit 12ym61 Schuhe Gabor Komfortabel Sandalen Absatz N8mn0wa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Stiefeletten D01 Stiefel Absatz Plateau Heels Damen Schuh High Boots W9E2YDHeIb
										/
										3
										sage:
										
										z
										=TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo nPkw0O8
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo nPkw0O8
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo nPkw0O8
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Angebote Gabor Beachtlich Ankle Pumps BootsStiefelettenBeste n0wOkP
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aBlau Reserviert Diw4tw Rosa Schuhe Damen Adidas An 38 23 Neo Sylvana In rxoeQdECWB
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo nPkw0O8
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldTamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo nPkw0O8
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo nPkw0O8
										sage:
											TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo nPkw0O8
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo nPkw0O8
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Slipper Rieker KaufenMirapodo Günstig Von Online rCshdxBtQ (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo nPkw0O8
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtTamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo nPkw0O8
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo nPkw0O8
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo TamarisZehentrennerSilberMirapodo nPkw0O8
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True