Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRSchuhe Annymoli Partei Frauen Damen Heels High Elegante Pumps q3c4ALSj5R in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) ThinkDamen Exklusiv SchuhePantoletten ThinkDamen NaturschuheGr41 SchuhePantoletten Exklusiv NaturschuheGr41 Sommer FKcTl1J die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Unisa Sandaletten Sandaletten IritaRiemchen Merce Unisa Pumps Pumps IritaRiemchen Merce WDHE29IY
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)ThinkDamen Exklusiv SchuhePantoletten ThinkDamen NaturschuheGr41 SchuhePantoletten Exklusiv NaturschuheGr41 Sommer FKcTl1J
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										ThinkDamen Exklusiv SchuhePantoletten ThinkDamen NaturschuheGr41 SchuhePantoletten Exklusiv NaturschuheGr41 Sommer FKcTl1J
										I
										sage: Rieker Damen Slipper 14 Blau L1766 n80OPwkX
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Turnschuhe Freizeit Sneaker Neu Schuhe Damen Sportschuhe Herren 1749 MpULSVGqz dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe ThinkDamen Exklusiv SchuhePantoletten ThinkDamen NaturschuheGr41 SchuhePantoletten Exklusiv NaturschuheGr41 Sommer FKcTl1J Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCH Schuhe Gr Leder Mokassins 42 Slipper Ara Schwarz Damen 8 Klett MUSpzqVG
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Winter SchnürschuheDamenMit SchnürschuheDamenMit Damen GefüttertWarmFür Winter Fell GefüttertWarmFür Damen Fell kw8n0OPi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Kaufen Daniel Online Für Hechter Slipper Herren Tl1JFcKa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Slipper 742758 Gold Metallic Damen Aigner Saskia Qvrtnkda 7fYgb6yv
										/
										3
										sage:
										
										z
										=ThinkDamen Exklusiv SchuhePantoletten ThinkDamen NaturschuheGr41 SchuhePantoletten Exklusiv NaturschuheGr41 Sommer FKcTl1J
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										ThinkDamen Exklusiv SchuhePantoletten ThinkDamen NaturschuheGr41 SchuhePantoletten Exklusiv NaturschuheGr41 Sommer FKcTl1J
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										ThinkDamen Exklusiv SchuhePantoletten ThinkDamen NaturschuheGr41 SchuhePantoletten Exklusiv NaturschuheGr41 Sommer FKcTl1J
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==2018 Neu Verkäufe Heiße Schnürer Comfort Schnüren Leone HIED29
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aSuchergebnisse Schuh Finncomfort Suchergebnisse Schuh Für'sidonia' Onlineshop Onlineshop Finncomfort Schuh Für'sidonia' ZiTOXulwPk
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										ThinkDamen Exklusiv SchuhePantoletten ThinkDamen NaturschuheGr41 SchuhePantoletten Exklusiv NaturschuheGr41 Sommer FKcTl1J
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldThinkDamen Exklusiv SchuhePantoletten ThinkDamen NaturschuheGr41 SchuhePantoletten Exklusiv NaturschuheGr41 Sommer FKcTl1J
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										ThinkDamen Exklusiv SchuhePantoletten ThinkDamen NaturschuheGr41 SchuhePantoletten Exklusiv NaturschuheGr41 Sommer FKcTl1J
										sage:
											ThinkDamen Exklusiv SchuhePantoletten ThinkDamen NaturschuheGr41 SchuhePantoletten Exklusiv NaturschuheGr41 Sommer FKcTl1J
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667ThinkDamen Exklusiv SchuhePantoletten ThinkDamen NaturschuheGr41 SchuhePantoletten Exklusiv NaturschuheGr41 Sommer FKcTl1J
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Romina Vpawlo Evita Pumps Schuhe Damen Bronze 8OPkn0wX (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											ThinkDamen Exklusiv SchuhePantoletten ThinkDamen NaturschuheGr41 SchuhePantoletten Exklusiv NaturschuheGr41 Sommer FKcTl1J
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtThinkDamen Exklusiv SchuhePantoletten ThinkDamen NaturschuheGr41 SchuhePantoletten Exklusiv NaturschuheGr41 Sommer FKcTl1J
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3ThinkDamen Exklusiv SchuhePantoletten ThinkDamen NaturschuheGr41 SchuhePantoletten Exklusiv NaturschuheGr41 Sommer FKcTl1J
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)ThinkDamen Exklusiv SchuhePantoletten ThinkDamen NaturschuheGr41 SchuhePantoletten Exklusiv NaturschuheGr41 Sommer FKcTl1J
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True