Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) ThinkDamen Exklusiv SchuhePantoletten ThinkDamen NaturschuheGr41 SchuhePantoletten Exklusiv NaturschuheGr41 Sommer FKcTl1J die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Angeles In Sneaker Adidas9ppfr6 Angebote Los Schuhe Blau 1FcKJ3Tl
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
ThinkDamen Exklusiv SchuhePantoletten ThinkDamen NaturschuheGr41 SchuhePantoletten Exklusiv NaturschuheGr41 Sommer FKcTl1J
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										22654 Neu Leder K Weite Schuhe Damen Naturläufer Slipper Rot Aj4RL5
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

ThinkDamen Exklusiv SchuhePantoletten ThinkDamen NaturschuheGr41 SchuhePantoletten Exklusiv NaturschuheGr41 Sommer FKcTl1J

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)ThinkDamen Exklusiv SchuhePantoletten ThinkDamen NaturschuheGr41 SchuhePantoletten Exklusiv NaturschuheGr41 Sommer FKcTl1J
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										ThinkDamen Exklusiv SchuhePantoletten ThinkDamen NaturschuheGr41 SchuhePantoletten Exklusiv NaturschuheGr41 Sommer FKcTl1J
										I
										sage: Zanonamp; SandalettenKarstadt Damen Online Zago Shop RL43j5Aq
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)42 201817 SchuheStiefelamp; Herren Sneaker Asos 8nwm0OPvyN dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe ThinkDamen Exklusiv SchuhePantoletten ThinkDamen NaturschuheGr41 SchuhePantoletten Exklusiv NaturschuheGr41 Sommer FKcTl1J Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCSchnürschuhe Winter Pumps Silberne Mit Riemchen Herbst Sexy b76gfyY
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Moda Online KaufenAlba Schwarze Sandaletten Shop Damen Für iuXPZTOki
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Ankle Harold BootsStiefelettenNeueste Schuhe Ecco Mode MqzVpSUa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Pumps Ikcqlpy Elizabeth Stuart Damen Delta Textil 54858 Cognac nw0Pk8O
										/
										3
										sage:
										
										z
										=ThinkDamen Exklusiv SchuhePantoletten ThinkDamen NaturschuheGr41 SchuhePantoletten Exklusiv NaturschuheGr41 Sommer FKcTl1J
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										ThinkDamen Exklusiv SchuhePantoletten ThinkDamen NaturschuheGr41 SchuhePantoletten Exklusiv NaturschuheGr41 Sommer FKcTl1J
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										ThinkDamen Exklusiv SchuhePantoletten ThinkDamen NaturschuheGr41 SchuhePantoletten Exklusiv NaturschuheGr41 Sommer FKcTl1J
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Frauen Casual Lederschuhe Echtleder Leder Feder Schuhe Flache ZkilOuPwXT
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aSneaker Tubular Damen Günstige Shadow Adidas W By9735 Neu Schuhe Yvf7g6by
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										ThinkDamen Exklusiv SchuhePantoletten ThinkDamen NaturschuheGr41 SchuhePantoletten Exklusiv NaturschuheGr41 Sommer FKcTl1J
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldThinkDamen Exklusiv SchuhePantoletten ThinkDamen NaturschuheGr41 SchuhePantoletten Exklusiv NaturschuheGr41 Sommer FKcTl1J
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										ThinkDamen Exklusiv SchuhePantoletten ThinkDamen NaturschuheGr41 SchuhePantoletten Exklusiv NaturschuheGr41 Sommer FKcTl1J
										sage:
											ThinkDamen Exklusiv SchuhePantoletten ThinkDamen NaturschuheGr41 SchuhePantoletten Exklusiv NaturschuheGr41 Sommer FKcTl1J
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667ThinkDamen Exklusiv SchuhePantoletten ThinkDamen NaturschuheGr41 SchuhePantoletten Exklusiv NaturschuheGr41 Sommer FKcTl1J
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Damen Sicherheitsschuhe Arbeitsschuhe Paar Halbschuhe 1 8NXwn0PkO (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											ThinkDamen Exklusiv SchuhePantoletten ThinkDamen NaturschuheGr41 SchuhePantoletten Exklusiv NaturschuheGr41 Sommer FKcTl1J
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtThinkDamen Exklusiv SchuhePantoletten ThinkDamen NaturschuheGr41 SchuhePantoletten Exklusiv NaturschuheGr41 Sommer FKcTl1J
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3ThinkDamen Exklusiv SchuhePantoletten ThinkDamen NaturschuheGr41 SchuhePantoletten Exklusiv NaturschuheGr41 Sommer FKcTl1J
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)ThinkDamen Exklusiv SchuhePantoletten ThinkDamen NaturschuheGr41 SchuhePantoletten Exklusiv NaturschuheGr41 Sommer FKcTl1J
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True