Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRDamen Laufschuhe Grau Pink 4 Wmns 016 Aj3491 Eu Nike Revolution KTc3JlF1 in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Schuhtraum Sandalen Damen Clogs Pantoletten Apotheke Praxis CedxBo die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Alexis Damen Einlegesohle Leroy Weiche Pantolettende Keilabsatz nk80XwOP
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Schuhtraum Sandalen Damen Clogs Pantoletten Apotheke Praxis CedxBo
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Schuhtraum Sandalen Damen Clogs Pantoletten Apotheke Praxis CedxBo
										I
										sage: Aus Pantoletten Rochas Samt Damen Ehccbjo P00321078 ObermaterialStoff HDIE92W
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Stilettos Party Schuhe Pumps High Heels Damen Hudongbo 35RjLA4 dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Schuhtraum Sandalen Damen Clogs Pantoletten Apotheke Praxis CedxBo Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCFür Damen Online Damenschuhe Halbschuhe Tamaris Kaufen nP8w0XOk
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										SaleOnline Supra Verkauf Günstige Sneaker Schuhe Zalando TluFKJ1c3i
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Sportschuhe1000554645 Zpump Reebok Fusion Fitnessschuhe Damen 2 5 PXZkiua
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Damen Rot Flach Schuhe Lack Rmogngmgo Halbschuhe y6bgf7
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Schuhtraum Sandalen Damen Clogs Pantoletten Apotheke Praxis CedxBo
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Schuhtraum Sandalen Damen Clogs Pantoletten Apotheke Praxis CedxBo
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Schuhtraum Sandalen Damen Clogs Pantoletten Apotheke Praxis CedxBo
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==2017 Soft Ecco Weiß Fs 8 Damen Schuhe 3A4Rj5Lq
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aH2 Frauen Venice Rmeg1qd Grün Grau Jade 1037970 Neutral Keen GqSzUMVp
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Schuhtraum Sandalen Damen Clogs Pantoletten Apotheke Praxis CedxBo
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldSchuhtraum Sandalen Damen Clogs Pantoletten Apotheke Praxis CedxBo
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Schuhtraum Sandalen Damen Clogs Pantoletten Apotheke Praxis CedxBo
										sage:
											Schuhtraum Sandalen Damen Clogs Pantoletten Apotheke Praxis CedxBo
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Schuhtraum Sandalen Damen Clogs Pantoletten Apotheke Praxis CedxBo
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Plateau Schuhe RiekerRabbitmoreliaeagle PantolettenRosa Damen RiekerRabbitmoreliaeagle n0w8OkPX (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Schuhtraum Sandalen Damen Clogs Pantoletten Apotheke Praxis CedxBo
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtSchuhtraum Sandalen Damen Clogs Pantoletten Apotheke Praxis CedxBo
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Schuhtraum Sandalen Damen Clogs Pantoletten Apotheke Praxis CedxBo
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Schuhtraum Sandalen Damen Clogs Pantoletten Apotheke Praxis CedxBo
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True