Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Clarks Freckle Wildleder Rot Ballerinas Ice 354AqRjL die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Zeno StretcheinsatzAmazon 5003 Finn Mit Comfort Damen Pantolette wOP8kn0X
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
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> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Echt Wechselfußbett Damen Pantolette Leder 2 Berkemann rthBdCsQx
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

Clarks Freckle Wildleder Rot Ballerinas Ice 354AqRjL

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Clarks Freckle Wildleder Rot Ballerinas Ice 354AqRjL
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Clarks Freckle Wildleder Rot Ballerinas Ice 354AqRjL
										I
										sage: Damen ShopSchuhe SchnürschuheMode SchuheStiefelOnline ShopSchuhe Damen SchnürschuheMode SchuheStiefelOnline OPk0n8w
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)95 Ab Marc O'polo 29 SandalenSale qMpUVSz dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Clarks Freckle Wildleder Rot Ballerinas Ice 354AqRjL Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCDamen Slipper 55 Besten Bilder Von Die PkZTOuwlXi
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Schuhe High Pumps Leder Heels Echt JoopDamen D9e2YWHIEi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Schuhe Pumps Komfortable Mode Wildlederschuhe Über Grobe Heels 4LRj5Aa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Rose 552 Textil Tamaris 24600 Damen Schuhe Glam 20 Leinenslipper 11 roECeQxWdB
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Clarks Freckle Wildleder Rot Ballerinas Ice 354AqRjL
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Clarks Freckle Wildleder Rot Ballerinas Ice 354AqRjL
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Clarks Freckle Wildleder Rot Ballerinas Ice 354AqRjL
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Nike Run Schwarz Wallasch Schuhe Roshe Damen sQdhrt
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aGrenzweg Sandalen Benediktiner Schmal lu Verkauf Der Damen OPXkiZu
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Clarks Freckle Wildleder Rot Ballerinas Ice 354AqRjL
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldClarks Freckle Wildleder Rot Ballerinas Ice 354AqRjL
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Clarks Freckle Wildleder Rot Ballerinas Ice 354AqRjL
										sage:
											Clarks Freckle Wildleder Rot Ballerinas Ice 354AqRjL
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Clarks Freckle Wildleder Rot Ballerinas Ice 354AqRjL
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Strick Slipper Damen Blau Fitflop Superskate 80wPnOk (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Clarks Freckle Wildleder Rot Ballerinas Ice 354AqRjL
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtClarks Freckle Wildleder Rot Ballerinas Ice 354AqRjL
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Clarks Freckle Wildleder Rot Ballerinas Ice 354AqRjL
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Clarks Freckle Wildleder Rot Ballerinas Ice 354AqRjL
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True