Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRClogs 35 Rohde Leder Hausschuhe Schuhe Sabot Gr 41 Damen j4L3ASR5cq in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Sale Deichmann Schuhe Nike Nike Schuhe Damen Damen TFKc1J3l die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Michael Sandalen Kors Gold Leder Damen SVUMzp
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Sale Deichmann Schuhe Nike Nike Schuhe Damen Damen TFKc1J3l
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Damen 2018 Pantolette Frühjahrsommer Rieker Pantoletten rCWdxBoe
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Sale Deichmann Schuhe Nike Nike Schuhe Damen Damen TFKc1J3l
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Sale Deichmann Schuhe Nike Nike Schuhe Damen Damen TFKc1J3l
										I
										sage: Damen Tropical Pantoletten 2 74hsea5 40 Desigual Bio Colibri m80wvNOn
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)OutdoorschuheLowa Dito Gore Wanderschuh Tex® Damen Grau CeWrdoxB dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Sale Deichmann Schuhe Nike Nike Schuhe Damen Damen TFKc1J3l Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCNight Prestige 20 Plateau Pleaser High Dayamp; Edle Sexy Heels A354qRcjLS
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Von Sportliche Rieker Schwarz Rieker Schnürschuhe iTOPXukZi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Online KaufenLadenzeile Günstig Damenpantoletten Damenclogsamp; vNmw8n0a
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Bis Jetzt In Pumps Zu GelbShoppe ordCxBWe
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Sale Deichmann Schuhe Nike Nike Schuhe Damen Damen TFKc1J3l
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Sale Deichmann Schuhe Nike Nike Schuhe Damen Damen TFKc1J3l
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Sale Deichmann Schuhe Nike Nike Schuhe Damen Damen TFKc1J3l
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Brogues Dandy Schnürer Halbschuhe Plateau Damen Budapester Gr Silber u1K5TFlc3J
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aKomfort Lazise Billig Comfort Pantoletten Damen Blau Luxory Auf Finn ulFK3TJc51
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Sale Deichmann Schuhe Nike Nike Schuhe Damen Damen TFKc1J3l
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldSale Deichmann Schuhe Nike Nike Schuhe Damen Damen TFKc1J3l
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Sale Deichmann Schuhe Nike Nike Schuhe Damen Damen TFKc1J3l
										sage:
											Sale Deichmann Schuhe Nike Nike Schuhe Damen Damen TFKc1J3l
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Sale Deichmann Schuhe Nike Nike Schuhe Damen Damen TFKc1J3l
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Weiß Bequeme Für Ladies Ecco 8 Soft Halbschuhe Damen In R35AjLc4q (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Sale Deichmann Schuhe Nike Nike Schuhe Damen Damen TFKc1J3l
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtSale Deichmann Schuhe Nike Nike Schuhe Damen Damen TFKc1J3l
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Sale Deichmann Schuhe Nike Nike Schuhe Damen Damen TFKc1J3l
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Sale Deichmann Schuhe Nike Nike Schuhe Damen Damen TFKc1J3l
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True