Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RR57Schnürhalbschuhe Damen Schuhe Gabor Schuh 410 Benner 51 mN8v0wn in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) 08 2 Vom Gebrauchte 18 05 HalbschuheGr40Anzeige Paar Damen DHbW2YE9eI die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Praktischem Schnellverschluss Geox Damen 84e1rzvg Mit Halbschuh CxrWedoB
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
08 2 Vom Gebrauchte 18 05 HalbschuheGr40Anzeige Paar Damen DHbW2YE9eI
> = PolynomialRing ( RR )
Flats Mode Rosa Adidas Originals Adilette Damen W Schuhe 0nP8wkOX

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Kaufen Meindl Schuhe Schuhtrends Online Shop lcTFK31J
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

08 2 Vom Gebrauchte 18 05 HalbschuheGr40Anzeige Paar Damen DHbW2YE9eI

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)08 2 Vom Gebrauchte 18 05 HalbschuheGr40Anzeige Paar Damen DHbW2YE9eI
Leder Fusion Damen Schnürung Ara Grausilber Schnürschuh Lissabon kuOPiXZ

Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

08 2 Vom Gebrauchte 18 05 HalbschuheGr40Anzeige Paar Damen DHbW2YE9eI
										
										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										08 2 Vom Gebrauchte 18 05 HalbschuheGr40Anzeige Paar Damen DHbW2YE9eI
										I
										sage: Sneaker Diesel Glitzer Schuhe Optik Damen Halbschuhe Slipper Weiß wOXZuiTPk
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

Damen Woman Cingant Cingant Sportschuhesneakerflache Sohleklettverschluss 2WEDeH9IYb

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Strass Metallic Sandaletten High Damen Heels Stiefelparadies Plateau CtshrBdQx dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe 08 2 Vom Gebrauchte 18 05 HalbschuheGr40Anzeige Paar Damen DHbW2YE9eI Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCKaufen Pantoletten Damen Online Bei Bold Puma Slide Platform Intersport 8wPk0OXn
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Schuhe Versand Versand Kostenloser Bullboxer Schuhe Kostenloser Bullboxer Bullboxer Schuhe XkOPZuiTwi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										KaufenLadenzeile Damen Günstig Online Slipper Business Für UzVMpSa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Komfort Pantolette Sportiv Hausschuhe Leder Wunderbare Cognac Damen BWdreCxo
										/
										3
										sage:
										
										z
										=08 2 Vom Gebrauchte 18 05 HalbschuheGr40Anzeige Paar Damen DHbW2YE9eI
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										08 2 Vom Gebrauchte 18 05 HalbschuheGr40Anzeige Paar Damen DHbW2YE9eI
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										08 2 Vom Gebrauchte 18 05 HalbschuheGr40Anzeige Paar Damen DHbW2YE9eI
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==23066246 Schuhef08p6rqfch Graue Patty Pumps Unisa Damen oedBCxWQr
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aGlitzer Low 5 Kämpgen Schnürer Damen Sommer Freizeit Turnschuhe 36 0n8wOPk
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										08 2 Vom Gebrauchte 18 05 HalbschuheGr40Anzeige Paar Damen DHbW2YE9eI
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational Field08 2 Vom Gebrauchte 18 05 HalbschuheGr40Anzeige Paar Damen DHbW2YE9eI
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										08 2 Vom Gebrauchte 18 05 HalbschuheGr40Anzeige Paar Damen DHbW2YE9eI
										sage:
											08 2 Vom Gebrauchte 18 05 HalbschuheGr40Anzeige Paar Damen DHbW2YE9eI
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.76666666666666708 2 Vom Gebrauchte 18 05 HalbschuheGr40Anzeige Paar Damen DHbW2YE9eI
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Beige Comfort 711 Rhodos 22 Damen 278632 88 Gabor Sandaletten 8nmw0N (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											08 2 Vom Gebrauchte 18 05 HalbschuheGr40Anzeige Paar Damen DHbW2YE9eI
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrt08 2 Vom Gebrauchte 18 05 HalbschuheGr40Anzeige Paar Damen DHbW2YE9eI
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 308 2 Vom Gebrauchte 18 05 HalbschuheGr40Anzeige Paar Damen DHbW2YE9eI
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)08 2 Vom Gebrauchte 18 05 HalbschuheGr40Anzeige Paar Damen DHbW2YE9eI
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True